微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=3\cdot 5\hspace{1}{}_{}^{\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}0} _{}^{} }$

■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=3\cdot {5}^{ {x}^{4}- 3x } $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5 }$

■ヒント

指数関数の底を $3$\displaystyle{e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

$3$\displaystyle{{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={ $ {e}^{ \log {a}^{x} } $ }^{\prime }={e}^{ x\log a }}$ 　　　　　

の式を用いる．

また，合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{ y=3\cdot {5}^{ {x}^{4}- 3x }=3\cdot {e}^{ $ {x}^{4}- 3x $ \log 5 } }$

$3$\displaystyle{ u= $ {x}^{4}- 3x $ \log 5 }$ とおく.

$3$\displaystyle{ y={e}^{u} }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =3{e}^{u}\cdot $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5 }$

$3$\displaystyle{ =3{e}^{ $ {x}^{4}- 3x $ \log 5 }\cdot $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5 }$

$3$\displaystyle{ =3\cdot {5}^{ {x}^{4}- 3x }\cdot $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5 }$

$3$\displaystyle{ $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {e}^{ \( {x}^{4}- 3x $ \log 5 }={e}^{ \log {5}^{ {x}^{4}- 3x } }={5}^{ {x}^{4}- 3x } \) }$

の両辺の自然対数をとる．

$3$\displaystyle{ \log y=\log 3\cdot {5}^{ {x}^{4}- 3x } }$

対数の定義より

$3$\displaystyle{ \log y=\log 3+ $ {x}^{4}- 3x $ \log 5 }$

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \log y $ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ \log 3+ $ {x}^{4}- 3x $ \log 5 \} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}= $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5 }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=y\cdot $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5=3\cdot {5}^{ {x}^{4}- 3x } $ 4{x}^{3}- 3 $ \log 5 }$

【備考】

$3$\displaystyle{z=\log y}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \log y $ =\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{z}$ を

$3$\displaystyle{z=\log y}$ ， $3$\displaystyle{ y={7}^{ {x}^{3}- x } }$

の合成関数と考えている．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

最終更新日： 2023年10月9日