フーリエ変換の問題

■問題

次の関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ のフーリエ余弦変換 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{x} ${\omega}$ }$ を，奇関数ならば関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ のフーリエ正弦変換 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ }$ を求めよ．

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\left{{ \begin{array} - {e}^{x} & \left({ x< 0 }\right) & \vspace{6}\\ {e}^{ - x } & \left({ x\geq 0 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■解答

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ =\frac{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{{\omega}}^{2} \hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} } }$

■解き方

$3$\displaystyle{ f $x$ }$ は奇関数である．よって，フーリエ正弦変換 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ }$ を求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f $x$ \sin {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - x }\sin {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - x }\sin {\omega}xd{\omega} }=I }$ とおく．

$3$\displaystyle{ I=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} { $ - {e}^{ - x } $ }^{\prime }\sin {\omega}xd{\omega} } }$

部分積分法を用いている

$3$\displaystyle{ = \[ - {e}^{ - x }\sin {\omega}x \] _{0}^{\infty}- \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} $ - {e}^{ - x } $ {\omega}\cos {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ =0- {\omega}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} { $ {e}^{ - x } $ }^{\prime }\cos {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ =- {\omega} \{ \[ {e}^{ - x }\cos {\omega}x \] _{0}^{\infty}- \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - x } $ - {\omega}\sin {\omega}x $ d{\omega} } \} }$

$3$\displaystyle{ =- {\omega} \{ - 1+{\omega}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - x }\sin {\omega}xd{\omega} } \} }$

$3$\displaystyle{ I=- {\omega} $ - 1+{\omega}I $ }$

$3$\displaystyle{ I={\omega}- {{\omega}}^{2}I }$

$3$\displaystyle{ $ 1+{{\omega}}^{2} $ I={\omega} }$

$3$\displaystyle{ I=\frac{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{{\omega}}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ =\frac{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{{\omega}}^{2} \hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{}$

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最終更新日： 2023年7月6日