フーリエ変換の問題

■問題

次の関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ のフーリエ余弦変換 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{x} ${\omega}$ }$ を，奇関数ならば関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ のフーリエ正弦変換 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ }$ を求めよ．

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\left{{ \begin{array}x& \left({ - 1< x< 1 }\right) & \vspace{6}\\ 0& \left({ \left|{x}\right|\geq 1 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }$

■解答

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} } $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\cos {\omega}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {{\omega}}^{2} \hspace{2}}\sin {\omega} $ }$

■解き方

$3$\displaystyle{ f $x$ }$ は奇関数である．よって，フーリエ正弦変換 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ }$ を求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s} ${\omega}$ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f $x$ \sin {\omega}xdx } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{1} x\sin {\omega}xdx } }$

部分積分法を用いる

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{1} x{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\cos {\omega}x $ }^{\prime }dx } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} } \{ \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}x\cos {\omega}x \] _{0}^{1}- \displaystyle{ \int _{0}^{1} 1\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\cos {\omega}x $ dx } \} }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} } \{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\cos {\omega}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}} \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\sin {\omega}x \] _{0}^{1} \} }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} } $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}\cos {\omega}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {{\omega}}^{2} \hspace{2}}\sin {\omega} $ }$

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最終更新日： 2023年7月6日