複素数の回転

■問題

$3$\alpha =2+i$ とする．複素平面において，点 $3$\alpha$ を原点を中心として反時計回りに $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ 回転した点を表す複素数 $3${\beta}$ と，時計回りに $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 回転した点を表す複素数 $3${\gamma}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{\beta}=\sqrt{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\left({ 1+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)i}$

$3$\displaystyle{{\gamma}=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 3- i }\right)}$

■ヒント

複素数の積，複素数の商の特徴を利用する．

■解説

原点を中心として反時計回りに $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ 回転させるには，複素数の積の特徴から，絶対値が $3$1$ で偏角が $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ の複素数を掛けるとよい．すなわち

$3$\displaystyle{\cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

を $3$\alpha$ にかけるとよい．よって

$3$\displaystyle{{\beta}=\alpha \left({ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 2+i }\right)\left({ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }\right)}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{3}+i+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\left({ 1+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)i}$

原点を中心として時計回りに $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 回転させるには，複素数の積の特徴から，絶対値が $3$1$ で偏角が $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ の複素数を掛けるとよい．すなわち

$3$\displaystyle{{\gamma}=\alpha \left({ \cos \left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)+i\sin \left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 2+i }\right)\left({ \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }\right)}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{2}- \sqrt{2}i+\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i+\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3\sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 3- i }\right)}$

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最終更新日：2026年6月10日