3点から等しい点(複素平面)

■問題

$3$\displaystyle{\alpha =2+5i}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}=3i}$ ， $3$\displaystyle{{\gamma}=6+3i}$ とする．複素平面において，点 $3$\alpha$ ，点 $3$\displaystyle{{\beta}}$ ，点 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の3点から等しい点に対応する複素数 $3${\omega}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{\omega}=3+2i}$

■ヒント

垂直二等分線

■解説

点 $3$\displaystyle{{\omega}}$ は，点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分の垂直二等分線と点 $3${\beta}$ と点 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ の垂直二等分線の交点になる．

点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

$3$\displaystyle{\left|{ z- \alpha }\right|=\left|{ z- {\beta} }\right|}$ ･･････(1)

となる．

点 $3${\beta}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

$3$\displaystyle{\left|{ z- {\beta} }\right|=\left|{ z- {\gamma} }\right|}$ ･･････(2)

となる．

(1)の直線の方程式の一般形を求める．

$3$\displaystyle{\left|{ z- \left({ 2+5i }\right) }\right|=\left|{ z- 3i }\right|}$

両辺を2乗する．

$3$\displaystyle{{\left|{ z- \left({ 2+5i }\right) }\right|}^{2}={\left|{ z- 3i }\right|}^{2}}$

$3$\displaystyle{{\left|{z}\right|}^{2}=z\text{\hspace{1}}\bar{z}}$ の性質を使って式を変形する．

$3$\displaystyle{\left{{ z- \left({ 2+5i }\right) }\right}\bar{ \left{{ z- \left({ 2+5i }\right) }\right} }}$ $3$\displaystyle{=\left({ z- 3i }\right)\bar{ \left({ z- 3i }\right) }}$

$3$\displaystyle{\bar{ \alpha +{\beta} }=\bar{\alpha }+\bar{{\beta}}}$ の性質を用いて式を変形する．

$3$\displaystyle{\left({ z- 2- 5i }\right)\bar{ \left({ z- 2- 5i }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\left({ z- 3i }\right)\bar{ \left({ z- 3i }\right) }}$

$3$\displaystyle{\left({ z- 2- 5i }\right)\left({ \bar{z}- 2+5i }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ z- 3i }\right)\left({ \bar{z}+3i }\right)}$

$3$\displaystyle{z\bar{z}- 2z+5zi- 2\bar{z}+4- 10i- 5\bar{z}i+10i+25}$ $3$\displaystyle{=z\bar{z}+3zi- 3\bar{z}i+9}$

$3$\displaystyle{\left({ - 2+2i }\right)z+\left({ - 2- 2i }\right)\bar{z}+20=0}$

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right)z+\left({ 1+i }\right)\bar{z}- 10=0}$ ･･････(3)

(2)の直線の方程式の一般形を求める．

$3$\displaystyle{\left|{ z- 3i }\right|=\left|{ z- \left({ 6+3i }\right) }\right|}$

$3$\displaystyle{{\left|{ z- 3i }\right|}^{2}={\left|{ z- \left({ 6+3i }\right) }\right|}^{2}}$

$3$\displaystyle{\left({ z- 3i }\right)\bar{ \left({ z- 3i }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\left{{ z- \left({ 6+3i }\right) }\right}\bar{ \left{{ z- \left({ 6+3i }\right) }\right} }}$

$3$\displaystyle{\left({ z- 3i }\right)\bar{ \left({ z- 3i }\right) }}$ $3$\displaystyle{=\left({ z- 6- 3i }\right)\bar{ \left({ z- 6- 3i }\right) }}$