複素数の線対称移動

■問題

$3$ \alpha =1+2i$ ， $3${\beta}=4+3i$ とする．複素平面において，点 $3$\alpha$ と点 $3$\displaystyle{{\beta}}$ の2点を通る直線の方程式の一般形（ $3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}z+{\gamma}\bar{z}+c=0}$ ， $3${\gamma}$ は複素数， $3$c$ は実数）を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\left({ 1+3i }\right)z+\left({ 1- 3i }\right)\bar{z}+10=0}$

■ヒント

直線の方程式

■解説

媒介変数を用いた直線の方程式は

$3$z=\alpha +t\left({ {\beta}- \alpha }\right)$ （ $3$t$ は媒介変数で実数）

$3$\displaystyle{z=1+2i+t\left{{ \left({ 4+3i }\right)- \left({ 1+2i }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{z=1+2i+t\left({ 3+i }\right)}$ ･･････(1)

(1)より

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} z- 1- 2i \hspace{2}}{\hspace{2} 3+i \hspace{2}}}$ ･･････(2)

(2)の両辺の共役な複素数を取ると

$3$\displaystyle{\bar{t}=\bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- 1- 2i \hspace{2}}{\hspace{2} 3+i \hspace{2}} }\right) }}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} \bar{ \left({ z- 1- 2i }\right) } \hspace{2}}{\hspace{2} \bar{ \left({ 3+i }\right) } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2} \bar{z}- 1+2i \hspace{2}}{\hspace{2} 3- i \hspace{2}}}$ ･･････(3)

となる．(2)，(3)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- 1- 2i \hspace{2}}{\hspace{2} 3+i \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \bar{z}- 1+2i \hspace{2}}{\hspace{2} 3- i \hspace{2}}}$ ･･････(4)

の関係が得られる．(4)を以下のように変形する．

$3$\displaystyle{\left({ 3- i }\right)\left({ z- 1- 2i }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ 3+i }\right)\left({ \bar{z}- 1+2i }\right)}$

$3$\displaystyle{3z- 3- 6i- zi+i- 2}$ $3$\displaystyle{=3\bar{z}- 3+6i+\bar{z}i- i- 2}$

$3$\displaystyle{3z- 6i- zi+i}$ $3$\displaystyle{=3\bar{z}+6i+\bar{z}i- i}$

$3$\displaystyle{\left({ 3- i }\right)z- 5i}$ $3$\displaystyle{=\left({ 3+i }\right)\bar{z}+5i}$

$3$\displaystyle{\left({ 3- i }\right)z- \left({ 3+i }\right)\bar{z}- 10i=0}$

定数項が実数になるように，両辺に $3$i$ を掛ける．

$3$\displaystyle{i\left({ 3- i }\right)z- i\left({ 3+i }\right)\bar{z}- 10{i}^{2}=0}$

$3$\displaystyle{\left({ 1+3i }\right)z+\left({ 1- 3i }\right)\bar{z}+10=0}$ ･･････(5)

一般形の直線の方程式が得られた．

●別解

$3$z=x+yi$ ･･････(6)

とおくと

$3$\bar{z}=x- yi$ ･･････(7)

となる．

座標平面で考えると，点 $3$\left({ 1,2 }\right)$ と点 $3$\left({ 4,4 }\right)$ を通る直線に対応する．この直線の方程式の一般形は

$3$\displaystyle{y- 2=\frac{\hspace{2} 3- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} 4- 1 \hspace{2}}\left({ x- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{y- 2=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ x- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{3\left({ y- 2 }\right)=x- 1}$

$3$\displaystyle{- x+3y- 5=0}$ ･･････(8)

となる．(6)，(7)より

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} z+\bar{z} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(9)

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} z- \bar{z} \hspace{2}}{\hspace{2} 2i \hspace{2}}}$ ･･････(10)

(8)に(9)，(10)を代入して，式を以下のように変形する．

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} z+\bar{z} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+3\frac{\hspace{2} z- \bar{z} \hspace{2}}{\hspace{2} 2i \hspace{2}}- 5=0}$

$3$\displaystyle{- \left({ z+\bar{z} }\right)+3\frac{\hspace{2} z- \bar{z} \hspace{2}}{\hspace{2}i\hspace{2}}- 10=0}$

$3$\displaystyle{- \left({ z+\bar{z} }\right)+3\left({ z- \bar{z} }\right)\left({ - i }\right)- 10=0}$

$3$\displaystyle{- \left({ 1+3i }\right)z- \left({ 1- 3i }\right)\bar{z}- 10=0}$

$3$\displaystyle{\left({ 1+3i }\right)z+\left({ 1- 3i }\right)\bar{z}+10=0}$ ･･････(11)

(11)は(5)と一致した．

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最終更新日：2025年12月9日