直線の方程式(複素平面)

●垂直二等分線の方程式

複素平面において，点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ の中点 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \alpha +{\beta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ を通り，点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

$3$\displaystyle{\left|{ z- \alpha }\right|=\left|{ z- {\beta} }\right|}$ ･･････(1)

線分の垂直二等分線の方程式を参照

●一般形

原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

$3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}z+{\gamma}\bar{z}+c=0}$ ( $3$c$ は実数 )　･･････(2) ⇒ 解説
原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

$3$\displaystyle{\bar{{\omega}}z- {\omega}\bar{z}+{\lambda}=0}$ ( $3${\lambda}$ は純虚数)　･･････(3) ⇒ 解説

(2)の両辺に $3$i$ をかけたも（ $3$\displaystyle{b- ai={\omega}}$ ， $3$\displaystyle{ic={\lambda}}$ とおいている）

●媒介変数表示

点 $3$\alpha$ を通り原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

$3$\displaystyle{z=\alpha +t{\omega}}$ ( $3$t$ は媒介変数(実数))　･･････(4) ⇒ 解説
点 $3$\alpha$ を通り原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

$3$\displaystyle{z=\alpha - t{\gamma}i}$ ( $3$t$ は媒介変数(実数))　･･････(5) ⇒ 解説
点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を通る直線の方程式

$3$\displaystyle{z=\alpha +t\left({ {\beta}- \alpha }\right)}$ ( $3$t$ は媒介変数(実数))　･･････(6)

(4)に $3${\omega}={\beta}- \alpha$ を代入したものになる

●個別の形

点 $3$\alpha$ を通り原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}=\bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}} }\right) }}$ ･･････(7) ⇒ 解説
点 $3$\alpha$ を通り原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}}=- \bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}} }\right) }}$ ･･････(8) ⇒ 解説

■解説

点 $3$\alpha$ ，点 $3${\beta}$ はドラックすると動かすことができる．

●(2)の方程式の解説

原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

$3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}z+{\gamma}\bar{z}+c=0}$ ( $3$c$ は実数 )

を導く．

(1)の両辺を2乗する．

$3$\displaystyle{{\left|{ z- \alpha }\right|}^{2}={\left|{ z- {\beta} }\right|}^{2}}$

$3$\displaystyle{\left({ z- \alpha }\right)\left({ \bar{ z- \alpha } }\right)=\left({ z- {\beta} }\right)\left({ \bar{ z- {\beta} } }\right)}$ (∵ $3$\displaystyle{z\text{\hspace{1}}\bar{z}={\left|{z}\right|}^{2}}$ ，ここを参照)

$3$\displaystyle{\left({ z- \alpha }\right)\left({ \bar{z}- \bar{\alpha } }\right)=\left({ z- {\beta} }\right)\left({ \bar{z}- \bar{{\beta}} }\right)}$ （ここを参照）

$3$\displaystyle{z\bar{z}- \bar{\alpha }z- \alpha \bar{z}+\alpha \bar{\alpha }=z\bar{z}- \bar{{\beta}}z- {\beta}\bar{z}+{\beta}\bar{{\beta}}}$

$3$\displaystyle{\left({ \bar{{\beta}}- \bar{\alpha } }\right)z+\left({ {\beta}- \alpha }\right)\bar{z}+\alpha \bar{\alpha }- {\beta}\bar{{\beta}}=0}$

$3$\displaystyle{\left({ \bar{ {\beta}- \alpha } }\right)z+\left({ {\beta}- \alpha }\right)\bar{z}+{\left|{\alpha }\right|}^{2}- {\left|{{\beta}}\right|}^{2}=0}$

$3$\displaystyle{{\beta}- \alpha ={\gamma}}$ ， $3$\displaystyle{{\left|{\alpha }\right|}^{2}- {\left|{{\beta}}\right|}^{2}=c}$ とおくと

$3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}z+{\gamma}\bar{z}+c=0}$

となり，(2)が得られる．

(2)の直線は

点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分の垂直二等分線である．
$3$\displaystyle{ {\gamma}={\beta}- \alpha }$ ．解説すると，原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分は点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分と平行である．

より，直線は，原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分と垂直な関係である．

◇備考

$3${\gamma}=a+bi$ ， $3$z=x+yi$ とおく．ただし， $3$a$ ， $3$b$ , $3$x$ ， $3$y$ は実数とする．これらを(2)に代入し，以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{\left({ a- bi }\right)\left({ x+yi }\right)+\left({ a+bi }\right)\left({ x- yi }\right)+c=0}$

$3$\displaystyle{ax+ayi- bxi+by+ax- ayi+bxi+by+c=0}$

$3$\displaystyle{2ax+2by+c=0}$

$3$\displaystyle{ax+by+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$ ･･････(9)

(9)は座標平面の直線の方程式の(2)の一般形の形になっている．

●(3)の方程式の解説

原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

$3$\displaystyle{\bar{{\omega}}z- {\omega}\bar{z}+{\lambda}=0}$ ( $3${\lambda}$ は純虚数)

を導く．

(2)の両辺に $3$i$ をかける．

$3$\displaystyle{i\bar{{\gamma}}z+i{\gamma}\bar{z}+ic=0}$ ･･････(10)

$3$\displaystyle{{\gamma}=a+bi}$ を(10)に代入する．

$3$\displaystyle{i\left({ \bar{ a+bi } }\right)z+i\left({ a+bi }\right)\bar{z}+ic=0}$

$3$\displaystyle{i\left({ a- bi }\right)z+i\left({ a+bi }\right)\bar{z}+ic=0}$

$3$\displaystyle{\left({ b+ai }\right)z- \left({ b- ai }\right)\bar{z}+ic=0}$

$3$\displaystyle{b- ai={\omega}}$ ， $3$\displaystyle{ic={\lambda}}$ とおくと

$3$\displaystyle{\bar{{\omega}}z- {\omega}\bar{z}+{\lambda}=0}$

となり(3)が得られる．

(3)の直線は

点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分の垂直二等分線である．
$3$\displaystyle{{\omega}=b- ai=- i\left({ a+bi }\right)=- i{\gamma}}$ より，点 $3${\omega}$ は点 $3${\gamma}$ を原点 $3$\text{O}$ を中心に時計回りに90°回転させた点になる(複素数の積を参照)．よって，原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分は，原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分と垂直，言い換えると，点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分と垂直である．

より，直線は，原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分と平行な関係である．

◇備考

$3$\displaystyle{{\omega}=b- ai}$ ， $3$\displaystyle{{\lambda}=ci}$ ， $3$z=x+yi$ とおく.ただし， $3$a$ ， $3$b$ , $3$c$ ， $3$x$ ， $3$y$ は実数とする．これらを(3)に代入し，以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{\left({ \bar{ b- ai } }\right)\left({ x+yi }\right)- \left({ b- ai }\right)\left({ \bar{ x+yi } }\right)+ci=0}$

$3$\displaystyle{\left({ b+ai }\right)\left({ x+yi }\right)- \left({ b- ai }\right)\left({ x- yi }\right)+ci=0}$

$3$\displaystyle{bx+byi+axi- ay- bx+byi+axi- ay+ci=0}$

$3$\displaystyle{2axi+2byi+ci=0}$

$3$\displaystyle{ax+by+\frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$ ･･････(11)

(11)は(9)と一致し，座標平面の直線の方程式の(2)の一般形の形になっている．

●(4)の方程式の解説

$3$\displaystyle{z=\alpha +t{\omega}}$ ( $3$t$ は媒介変数(実数))

複素数の和，複素数の実数倍を参照

●(5)の方程式の解説

$3$\displaystyle{z=\alpha - t{\gamma}i}$ ( $3$t$ は媒介変数(実数))

複素数の和，複素数の積，複素数の実数倍を参照

●(7)の方程式の解説

点 $3$\alpha$ を通り原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\omega}$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}=\bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}} }\right) }}$

を導く．

(4)の $3$\displaystyle{z=\alpha +t{\omega}}$ より

$3$\displaystyle{z- \alpha =t{\omega}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}=t}$ ･･････(12)

(10)の両辺の共役な複素数をとる．

$3$\displaystyle{\bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}} }\right) }=t}$ ･･････(13)

(12)，(13)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}=\bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}} }\right) }}$

となり，(7)が得られる．

(7)を以下のように式変形をする(共役な複素数の基本式を参照)．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\omega}\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \bar{z}- \bar{\alpha } \hspace{2}}{\hspace{2}\bar{{\omega}}\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\bar{{\omega}}\left({ z- \alpha }\right)={\omega}\left({ \bar{z}- \bar{\alpha } }\right)}$

$3$\displaystyle{\bar{{\omega}}z- {\omega}\bar{z}+{\omega}\bar{\alpha }- \bar{{\omega}}\alpha =0}$

$3$\displaystyle{\bar{{\omega}}z- {\omega}\bar{z}+{\omega}\bar{\alpha }- \bar{ \left({ {\omega}\bar{\alpha } }\right) }=0}$

$3$\displaystyle{{\omega}\bar{\alpha }- \bar{ \left({ {\omega}\bar{\alpha } }\right) }}$ は，複素数とその共役な複素数の差であるので，純虚数になる．よって，(3)の一般形になる．

●(8)の方程式の解説

点 $3$\alpha$ を通り原点 $3$\text{O}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}}=- \bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}} }\right) }}$ ･･････(8)

を導く．

(5)の $3$\displaystyle{z=\alpha - t{\gamma}i}$ より

$3$\displaystyle{z- \alpha =- t{\gamma}i}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}}=- ti}$ ･･････(14)

(14)の両辺の共役な複素数をとる．

$3$\displaystyle{\bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}} }\right) }=ti}$ ･･････(15)

(14)，(15)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}}=- \bar{ \left({ \frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}} }\right) }}$

となり，(8)が得られる．

(8)を以下のように式変形をする(共役な複素数の基本式を参照)．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} z- \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}{\gamma}\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \bar{z}- \bar{\alpha } \hspace{2}}{\hspace{2}\bar{{\gamma}}\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}\left({ z- \alpha }\right)=- {\gamma}\left({ \bar{z}- \bar{\alpha } }\right)}$

$3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}z+{\gamma}\bar{z}- {\gamma}\bar{\alpha }- \bar{{\gamma}}\alpha =0}$

$3$\displaystyle{\bar{{\gamma}}z+{\gamma}\bar{z}- \left{{ {\gamma}\bar{\alpha }+\bar{ \left({ {\gamma}\bar{\alpha } }\right) } }\right}=0}$

$3$\displaystyle{ {\gamma}\bar{\alpha }+\bar{ \left({ {\gamma}\bar{\alpha } }\right) } }$ は，複素数とその共役な複素数の和であるので，実数になる．よって，(2)の一般形になる．

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最終更新日： 2025年12月3日