図形の変換（複素平面）

■問題

$3$\displaystyle{ {\omega}=2zi+3 }$ とする．複素平面において，点 $3$z$ が直線 $3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right)z- \left({ 1+i }\right)\bar{z}- 2i=0}$ 上を動くとき，点 $3${\omega}$ はどのような図形を描くか．

■答

点 $3${\omega}$ は，直線の方程式

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right){\omega}+\left({ 1+i }\right)\bar{{\omega}}- 2=0}$

で表わされる直線を描く．具体的に述べると

点 $3$1$ と点 $3$3- 2i$ を通る直線

を描く．

■ヒント

直線の方程式，複素数の積，複素数の和

■解説

$3${\omega}=2zi+3$ より

$3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2} {\omega}- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2i \hspace{2}}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\bar{z}=\frac{\hspace{2} \bar{{\omega}}- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} - 2i \hspace{2}}}$ ･･････(2)

が得られる．

(1)，(2)を直線の方程式に代入し，以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right)\frac{\hspace{2} {\omega}- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2i \hspace{2}}- \left({ 1+i }\right)\frac{\hspace{2} \bar{{\omega}}- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} - 2i \hspace{2}}- 2i=0}$

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right)\left({ {\omega}- 3 }\right)+\left({ 1+i }\right)\left({ \bar{{\omega}}- 3 }\right)+4=0}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{{\omega}- 3- {\omega}i+3i+\bar{{\omega}}- 3+\bar{{\omega}}i- 3i+4=0}}$

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right){\omega}+\left({ 1+i }\right)\bar{{\omega}}- 2=0}$ ･･････(3)

(3)は直線の方程式である．よって，点 $3${\omega}$ は(3)で与えられる直線を描く

さらに詳しく調べる．

直線

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right)z- \left({ 1+i }\right)\bar{z}- 2i=0}$ ･･････(4)

について

$3$z=x+yi$ （ $3$x$ ， $3$y$ は実数）･･････(5)

とおくと

$3$\displaystyle{\bar{z}=x- yi}$ ･･････(6)

となる．

(4)，(5)を(3)に代入し，以下のように式変形をする．

$3$\displaystyle{\left({ 1- i }\right)\left({ x+yi }\right)- \left({ 1+i }\right)\left({ x- yi }\right)- 2i=0}$

$3$\displaystyle{x+yi- xi+y- x+yi- xi- y- 2i=0}$

$3$\displaystyle{- 2xi+2yi- 2i=0}$

$3$\displaystyle{x- y+1=0}$ ･･････(7)

(6)は座標平面における直線の方程式の一般形になっている．

$3$x=0$ のとき， $3$y=1$

$3$y=0$ のとき， $3$x=- 1$

したがって，(3)の直線は，複素平面において，点 $3$i$ と点 $3$- 1$ の2点を通る直線を表わす．

一方， $3${\omega}=2zi+3$ は

複素平面において，点 $3$z$ を原点を中心に時計回りに $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 回転させた後，原点を中心に $3$2$ 倍に拡大（原点からの距離が $3$2$ 倍になることを意味する）し，更に実軸の正方向に $3$3$ 移動させたものが点 $3${\omega}$ になる