基本的な1次変換の問題

■問題

座標平面において，直線 $3$\displaystyle{y=- x}$ に関して対称な変換を表す表現行列を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}0& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

■ヒント

$3$\displaystyle{y=- x}$ のグラフを描き，それに関して互いに対称な2点をとる．

線分 $3$\displaystyle{\text{PQ}}$ の中点が直線 $3$\displaystyle{y=- x}$ 上にあることと，線分 $3$\displaystyle{\text{PQ}}$ と直線 $3$\displaystyle{y=- x}$ が直交することから，連立方程式を立てる．

$3$\displaystyle{u}$ と $3$\displaystyle{v}$ を $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ で表すことにより表現行列を求める．

■解き方

点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ ，点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の中点

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2} x+u \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} y+v \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

が直線 $3$\displaystyle{y=- x}$ 上にあることより

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y+v \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} x+u \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ……(1)

点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ ，点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ を通る直線の傾きは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- v \hspace{2}}{\hspace{2} x- u \hspace{2}}}$

となる．線分 $3$\displaystyle{\text{PQ}}$ と直線 $3$\displaystyle{y=- x}$ が直交することとより

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- v \hspace{2}}{\hspace{2} x- u \hspace{2}}\cdot $ - 1 $ =- 1}$ ……(2)

$3$\displaystyle{ $1$ }$ より

$3$\displaystyle{y+v=- x- u}$ ……(3)

$3$\displaystyle{ $2$ }$ より

$3$\displaystyle{y- v=x- u}$ ……(4)

$3$\displaystyle{ $3$ + $4$ }$ より

$3$\displaystyle{2y=- 2u}$

よって

$3$\displaystyle{u=- y}$

$3$\displaystyle{ $3$ - $4$ }$ より

$3$\displaystyle{2v=- 2x}$

よって

$3$\displaystyle{v=- x}$

したがって

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} - y & \vspace{6}\\ - x & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} 0\cdot x & - 1\cdot y & \vspace{6}\\ - 1\cdot x & 0\cdot y & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &0& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

よって，表現行列は

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}0& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年2月10日