立方体の影の作図

■問題

地表に垂直に長さ $3$\displaystyle{z}$ の棒を立てた．太陽の光で地表には棒の影ができる．太陽が南東の地表面から $3$\displaystyle{60^\circ }$ (仰角)の方向にあったとする．地表面に $3$\displaystyle{x}$ 軸， $3$\displaystyle{y}$ 軸を取り，東向きを $3$\displaystyle{x}$ 軸の正方向，北向きを $3$\displaystyle{y}$ 軸の正方向とし，鉛直上向きを $3$\displaystyle{z}$ 軸の正方向にとる．棒は $3$\displaystyle{xy}$ 平面の原点に立っていたとする．このように座標を設定すると，棒の先端の点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ (地表面に接している方と反対側)の座標は $3$\displaystyle{ $ 0,0,z $ }$ となる．

(1)棒の影の先端部の点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ u,v,0 $ }$ とする． $3$\displaystyle{u}$ ， $3$\displaystyle{v}$ を $3$\displaystyle{z}$ を用いて表せ．影は地表面にできるので $3$\displaystyle{z}$ 座標の値は $3$\displaystyle{0}$ になる． ⇒解答

棒と棒の影

(2)棒を立てる位置を $3$\displaystyle{ $ x,y,0 $ }$ に変更した．棒の影の先端部の点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標を $3$\displaystyle{ $ u,v,0 $ }$ とする． $3$\displaystyle{u}$ ， $3$\displaystyle{v}$ を $3$\displaystyle{z}$ を用いて表せ． ⇒解答

棒を立てる位置を変更した場合の棒と棒の影

(3)棒の先端部の点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の座標 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ と棒の影の先端部の点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の座標間 $3$\displaystyle{ $ u,v,0 $ }$ の間には，

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ =X $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{X}$ は $3$\displaystyle{3}$ 次の正方行列である．

の関係がある． $3$\displaystyle{3}$ 次の正方行列 $3$\displaystyle{X}$ を求めよ． ⇒解答

(4)図のような一辺の長さが $3$\displaystyle{1}$ mの立方体がある．頂点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ を原点に，対角線 $3$\displaystyle{\text{A}\text{G}}$ が $3$\displaystyle{z}$ 軸と重なり，平面 $3$\displaystyle{\text{A}\text{C}\text{G}\text{E}}$ が $3$\displaystyle{yz}$ 平面と一致し，頂点 $3$\displaystyle{\text{C}}$ の座標の $3$\displaystyle{y}$ 成分が正になるように，すなわち北側になるように，頂点 $3$\displaystyle{\text{E}}$ の座標の $3$\displaystyle{y}$ 成分が負になるように，すなわち南側になるように立方体を地表面に設置した(下図を参照せよ)．立方体の影をグラフ用紙に作図せよ．グラフ用紙には東西南北の方角を明記する．また， $3$\displaystyle{1}$ mの長さが $3$\displaystyle{5}$ cmになるように作図する．作図に必要な計算を記入しておくこと． ⇒解答

立方体

立方体を真上から見た状態
立方体を東から見た状態

(5)太陽の位置を南南東の地表面から $3$\displaystyle{45^\circ }$ (仰角)の方向に変更する．この場合の(4)で説明した立方体の影を作図せよ．(4)と同様に答えよ． ⇒解答

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作成：学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月25日