基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}2&3&3&1& \vspace{6}\\ 1&2&1&2& \vspace{6}\\ 4&1&5&1& \vspace{6}\\ 2&1&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■答

$3$\displaystyle{14}$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}2&3&3&1& \vspace{6}\\ 1&2&1&2& \vspace{6}\\ 4&1&5&1& \vspace{6}\\ 2&1&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行1列目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が代わることに注意する．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1&2&1&2& \vspace{6}\\ 2&3&3&1& \vspace{6}\\ 4&1&5&1& \vspace{6}\\ 2&1&1&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2)，3行+1行×(-4)，1行+4行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1&2&1&2& \vspace{6}\\ 0& - 1 &1& - 3 & \vspace{6}\\ 0& - 7 &1& - 7 & \vspace{6}\\ 0& - 3 & - 1 & - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて計算式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array} - 1 &1& - 3 & \vspace{6}\\ - 7 &1& - 7 & \vspace{6}\\ - 3 & - 1 & - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

再び1行1列目を1とするために1列目と2列目を入れ替える．符号が代わる．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1& - 1 & - 3 & \vspace{6}\\ 1& - 7 & - 7 & \vspace{6}\\ - 1 & - 3 & - 2 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行＋1行の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1& - 1 & - 3 & \vspace{6}\\ 0& - 6 & - 4 & \vspace{6}\\ 0& - 4 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて計算式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} - 6 & - 4 & \vspace{6}\\ - 4 & - 5 & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=30- 16}$

$3$\displaystyle{=14}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日