基本的な行列の問題

■問題

次の行列 $3$\displaystyle{A}$ の逆行列 $3$\displaystyle{ {A}^{ - 1 } }$ を求めよ．

$3$\displaystyle{ A=\left({ \begin{array}2& - 3 & \vspace{6}\\ - 4 &5& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

■答

$3$\displaystyle{ {A}^{ - 1 }=\left({ \begin{array} - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

■計算

1行1列と2行2列を入れ替え，1行2列と2行1列の符号を変えたものに $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left|{A}\right| \hspace{2}} }$ を掛ける(2次正方行列の逆行列を参照)．

$3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\times 5- 4\times 3 \hspace{2}}\left({ \begin{array}5&3& \vspace{6}\\ 4&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 10- 12 \hspace{2}}\left({ \begin{array}5&3& \vspace{6}\\ 4&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \begin{array}5&3& \vspace{6}\\ 4&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

行列の実数倍の性質を利用して計算を進める．

$3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ $3$ =\left({ \begin{array} - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)$

$3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月14日