基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．

$3$\displaystyle{\left|{ \begin{array}1&3& - 2 & - 3 & - 1 & \vspace{6}\\ - 2 &1&4& - 3 &2& \vspace{6}\\ 4&5& - 3 &1&2& \vspace{6}\\ 3& - 2 &1&2& - 3 & \vspace{6}\\ 2&2&3& - 4 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

■答

$3$\displaystyle{ - 306 }$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

行列式の計算則を用いて，2行+1行×2，3行+1行×(-4)，4行+1行×(-3)，5行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array}1&3& - 2 & - 3 & - 1 & \vspace{6}\\ 0&7&0& - 9 &0& \vspace{6}\\ 0& - 7 &5& 13 &6& \vspace{6}\\ 0& - 11 &7& 11 &0& \vspace{6}\\ 0& - 4 &7&2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array}7&0& - 9 &0& \vspace{6}\\ - 7 &5& 13 &6& \vspace{6}\\ - 11 &7& 11 &0& \vspace{6}\\ - 4 &7&2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の交代性を用いて，1列目と4列目を入れ替える．符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array} - 4 &7&2&1& \vspace{6}\\ - 7 &5& 13 &6& \vspace{6}\\ - 11 &7& 11 &0& \vspace{6}\\ 7&0& - 9 &0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の交代性を用いて，さらに1行目と4行目を入れ替える．符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array}1&7&2& - 4 & \vspace{6}\\ 6&5& 13 & - 7 & \vspace{6}\\ 0&7& 11 & - 11 & \vspace{6}\\ 0&0& - 9 &7& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の計算則を用いて，2行+1行×(-6)の計算をする．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1&7&2& - 4 & \vspace{6}\\ 0& - 37 &1& 17 & \vspace{6}\\ 0&7& 11 & - 11 & \vspace{6}\\ 0&0& - 9 &7& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} - 37 &1& 17 & \vspace{6}\\ 7& 11 & - 11 & \vspace{6}\\ 0& - 9 &7& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の交代性を用いて，1列目と2列目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

$3$\displaystyle{=- \| \begin{array}1& - 37 & 17 & \vspace{6}\\ 11 &7& - 11 & \vspace{6}\\ - 9 &0&7& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の計算則を用いて，2行+3行の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array}1& - 37 & 17 & \vspace{6}\\ 2&7& - 4 & \vspace{6}\\ - 9 &0&7& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の計算則を用いて，3行+2行×4の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array}1& - 37 & 17 & \vspace{6}\\ 2&7& - 4 & \vspace{6}\\ - 1 & 28 & - 9 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の計算則を用いて，2行+1行×(-2)，3行+1行×(-2)の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array}1& - 37 & 17 & \vspace{6}\\ 0& 81 & - 38 & \vspace{6}\\ 0& - 9 &8& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array} 81 & - 38 & \vspace{6}\\ - 9 &8& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

行列式の計算則を用いて，1行2行×9の計算をする．

$3$\displaystyle{=- \left|{ \begin{array}0& 34 & \vspace{6}\\ - 9 &8& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

$3$\displaystyle{=- \left({ 0+306 }\right)}$

$3$\displaystyle{=- 306}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月10日