基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x& x+1 & x+2 & x+3 & \vspace{6}\\ x+1 & x+2 & x+3 &x& \vspace{6}\\ x+2 & x+3 &x& x+1 & \vspace{6}\\ x+3 &x& x+1 & x+2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{ 32\left({ 2x+3 }\right) }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x& x+1 & x+2 & x+3 & \vspace{6}\\ x+1 & x+2 & x+3 &x& \vspace{6}\\ x+2 & x+3 &x& x+1 & \vspace{6}\\ x+3 &x& x+1 & x+2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて1行+2行，1行+3行，1行+4行の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} 4x+6 & 4x+6 & 4x+6 & 4x+6 & \vspace{6}\\ x+1 & x+2 & x+3 &x& \vspace{6}\\ x+2 & x+3 &x& x+1 & \vspace{6}\\ x+3 &x& x+1 & x+2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

1行目の成分がすべて $3$\displaystyle{ 4x+6 }$ なので，定数倍の性質を用いて1行目から $3$\displaystyle{ 4x+6 }$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\left({ 4x+6 }\right)\left({\begin{array}1&1&1&1& \vspace{6}\\ x+1 & x+2 & x+3 &x& \vspace{6}\\ x+2 & x+3 &x& x+1 & \vspace{6}\\ x+3 &x& x+1 & x+2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x+1 }\right) }\right} }$ ，3行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x+2 }\right) }\right} }$ ，4行+1行× $3$\displaystyle{ \left{{ - \left({ x+3 }\right) }\right} }$ の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({ 4x+6 }\right)\left({\begin{array}1&1&1&1& \vspace{6}\\ 0&1&2& - 1 & \vspace{6}\\ 0&1& - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ 0& - 3 & - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({ 4x+6 }\right)\left({\begin{array}1&2& - 1 & \vspace{6}\\ 1& - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ - 3 & - 2 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

2列目の成分が2の倍数なので，定数倍の性質を用いて2列から2をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =2\left({ 4x+6 }\right)\left({\begin{array}1&1& - 1 & \vspace{6}\\ 1& - 1 & - 1 & \vspace{6}\\ - 3 & - 1 & - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×3の計算をする．

$3$\displaystyle{ =2\left({ 4x+6 }\right)\left({\begin{array}1&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - 2 &0& \vspace{6}\\ 0&2& - 4 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =2\left({ 4x+6 }\right)\left({\begin{array} - 2 &0& \vspace{6}\\ 2& - 4 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =16\left({ 4x+6 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =32\left({ 2x+3 }\right) }$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日