基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を因数分解した形で求めよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&a& {b}^{2}- {c}^{2} & \vspace{6}\\ 1&b& {a}^{2}- {c}^{2} & \vspace{6}\\ 1&c& {b}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{\left({ a- b }\right)\left({ a- c }\right)\left({ 2a+b+c }\right)}$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&a& {b}^{2}- {c}^{2} & \vspace{6}\\ 1&b& {a}^{2}- {c}^{2} & \vspace{6}\\ 1&c& {b}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算をする．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&a& {b}^{2}- {c}^{2} & \vspace{6}\\ 0& b- a & {a}^{2}- {b}^{2} & \vspace{6}\\ 0& c- a & {c}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} b- a & {a}^{2}- {b}^{2} & \vspace{6}\\ c- a & {c}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ {c}^{2}- {a}^{2} }$ と $3$\displaystyle{ {a}^{2}- {b}^{2} }$ をそれぞれ因数分解をする．

$3$\displaystyle{ =\left|{ \begin{array} b- a & \left({ a- b }\right)\left({ a+b }\right) & \vspace{6}\\ c- a & \left({ c- a }\right)\left({ c+a }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{ =\left|{ \begin{array} - \left({ a- b }\right) & \left({ a- b }\right)\left({ a+b }\right) & \vspace{6}\\ c- a & \left({ c- a }\right)\left({ c+a }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

1行目の成分には $3$\displaystyle{ a- b }$ の共通因数があり，2行目にの成分には $3$\displaystyle{ c- a }$ の共通因数がある．定数倍の性質を使ってこれらの因数をくくりだす．

$3$\displaystyle{=\left({ a- b }\right)\left({ c- a }\right)\left|{ \begin{array} - 1 & a+b & \vspace{6}\\ 1& c+a & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

2次の正方行列式の値を計算する，

$3$\displaystyle{=\left({ a- b }\right)\left({ c- a }\right)\left{{ - \left({ c+a }\right)- \left({ a+b }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=- \left({ a- b }\right)\left({ c- a }\right)\left({ 2a+b+c }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ a- b }\right)\left({ a- c }\right)\left({ 2a+b+c }\right)}$

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年7月10日