2次関数のグラフの拡大に関する問題

■問題

2次関数 $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心に $3$x$ 軸方向に $3$2$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$2$ 倍したグラフを表す関数を求めよ．

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■答

$3$\displaystyle{y=2{x}^{2}}$

■解説

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点を中心として $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}=f $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }$ ･･････(1)

となる(グラフの拡大を参照)．今回は $3$\displaystyle{c= 2 }$ ， $3$\displaystyle{d=2}$ に対応する．よって $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ を

$3$\displaystyle{x\rightarrow \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 2 \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y\rightarrow \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(2)

に書き換えて

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}={ \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} }$

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 上の点 $3$\text{P}$ を原点を中心に $3$x$ 軸方向に $3$2$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$2$ 倍したものを点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とすると

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=2r& \vspace{6}\\ y=2s& \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\rightarrow$ $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ 2r,2s }\right)}$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $3$\text{Q}$ を点 $3$\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $3$\text{P}$ の座標を，点 $3$\text{Q}$ の座標の値 $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}r=\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}& \vspace{6}\\ s=\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\rightarrow$ $3$\displaystyle{\left({ r,a }\right)=\left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{s={r}^{2}}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $3$r$ と $3$s$ に(5)の関係を代入すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}={\left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(7)

が得られる.(7)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心に $3$x$ 軸方向に $3$2$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$2$ 倍したグラフを表す関数である．

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最終更新日：2025年4月18日