2次関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

2次関数 $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心に $3$x$ 軸方向に2倍， $3$y$ 軸方向に－3倍した（拡大した）後，
$3$x$ 軸方向に－3， $3$y$ 軸方向に－2平行移動したグラフを表す関数を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ $ x+3 $ }^{2}- 2}$

■解説

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点を中心として

$3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍，

$3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍した後，

$3$x$ 軸方向に $3$a$ ，

$3$y$ 軸方向に $3$b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）

したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} y- b \hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}=f $ \frac{\hspace{2} x- a \hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }$ 　･･････(1)

となる．(グラフの拡大→平行移動を参照)．今回は

$3$\displaystyle{c= 2 }$ ， $3$\displaystyle{d=- 3}$ ， $3$\displaystyle{a= - 3 }$ ， $3$\displaystyle{d=- 2}$

に対応する．よって $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ を

$3$\displaystyle{x\rightarrow \frac{\hspace{2} x- $ - 3 $ \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y\rightarrow \frac{\hspace{2} y- $ - 2 $ \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}}$

に書き換えて

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} y- \left({ - 2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}={ \left{{ \frac{\hspace{2} x- \left({ - 3 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right} }^{2} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} y+2 \hspace{2}}{\hspace{2} - 3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \left({ x+3 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ y=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ \left({ x+3 }\right) }^{2}- 2 }$

となる．これが求める関数である．

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最終更新日： 2024年9月13日