2次関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

2次関数 $3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ のグラフは， $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフをどのように拡大した後，平行移動したかを答えよ．

■答

$3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ のグラフは

$3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心として， $3$y$ 軸方向に2倍した（拡大した）後， $3$x$ 軸方向に2， $3$y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

あるいは

$3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ のグラフは， $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心として， $3$x$ 軸方向に $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ 倍した（拡大した）後， $3$x$ 軸方向に2， $3$y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

■ヒント

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを原点を中心として， $3$x$ 軸方向に $3$c$ 倍， $3$y$ 軸方向に $3$d$ 倍した後， $3$x$ 軸方向に $3$a$ ， $3$y$ 軸方向に $3$b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）した

グラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} y- b \hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}=f $ \frac{\hspace{2} x- a \hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }$ 　

となる．よって， $3$\displaystyle{f $x$ ={x}^{2}}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ に適用すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- b \hspace{2}}{\hspace{2}d\hspace{2}}={ $ \frac{\hspace{2} x- a \hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}} $ }^{2}}$ ･･･････(1)

の形に， $3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ の式を変形するとよい．

■解説

方針に従って $3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ の式を以下のように変形する．

まず，平方完成する．

$3$\displaystyle{ {x}^{2} }$ の係数2で $3$\displaystyle{ {x}^{2} }$ の項と $3$\displaystyle{ x }$ の項をくくる．

$3$\displaystyle{y=2 $ {x}^{2}- 4x $ +11}$ 　　　

$3$\displaystyle{ y=2 $ {x}^{2}- 4x+4 $ - 2\times 4+11 }$

$3$\displaystyle{ a=x }$ の係数，とおく

（）の部分が $3$\displaystyle{ { $ x+\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} }$ になるように、（）の中に $3$\displaystyle{ { $ x+\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} }$ を加え，（）の外で $3$\displaystyle{ 2\times { $ x+\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} }$ を引き、差し引き0にする。

$3$\displaystyle{ y=2{ $ x- 2 $ }^{2}+3 }$

次に，(1)の形になるように，式を変形していく．

$3$\displaystyle{y- 3=2{ $ x- 2 $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}={ $ \frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}} $ }^{2}}$ ･･････(2)

となる．(2)は次のようにも変形できる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- 3 \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}={ $ \frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} \hspace{2}} $ }^{2}}$ ･･････(3)

(2)より， $3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ のグラフは

$3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心として
$3$y$ 軸方向に2倍した（拡大した）後， $3$x$ 軸方向に2， $3$y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

(3)より， $3$\displaystyle{ y=2{x}^{2}- 8x+11 }$ のグラフは

$3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを原点を中心として
$3$x$ 軸方向に $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ 倍した（拡大した）後， $3$x$ 軸方向に2， $3$y$ 軸方向に3平行移動したもの

である．

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最終更新日： 2024年9月13日