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2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

放物線 $3$\displaystyle{y=- 2{x}^{2}+4x+7}$ と直線 $3$\displaystyle{y=2x- 5}$ の交点を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\left({ - 2,- 9 }\right)$ ， $3$\left({ 3,1 }\right)$

■解説

$3$\displaystyle{y=- 2{x}^{2}+4x+7}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{y=2x- 5}$ ･･････(2)

(1)と(2)のグラフの交点を求めることは，(1)と(2)に共通する $3$x$ と $3$y$ の組を求めることである．よって，(1)と(2)の連立方程式の解を解けばよい．

まず，(1)ー(2)の計算を行い $3$y$ を消去すると

$3$0=- 2{x}^{2}+2x+12$ ･･････(3)

が得られる．

(3)の $3$x$ の2次方程式を解く．

$3$- 2{x}^{2}+2x+12=0$

因数分解する

$3$- 2\left({ {x}^{2}- x- 6 }\right)=0$

$3$- 2\left({ x+2 }\right)\left({ x- 3 }\right)=0$

よって

$3$x=- 2,3$

となる．

(2)に $3$x=- 2$ を代入すると

$3$y=2\left({ - 2 }\right)- 5=- 9$

(2)に $3$x=3$ を代入すると

$3$y=2\cdot 3- 5=1$

となる．

以上より，求める交点は

$3$\left({ - 2,- 9 }\right)$ ， $3$\left({ 3,1 }\right)$

である．

●グラフ

(1)を平方完成する

$3$y=- 2{x}^{2}+4x+7$

$3$=- 2\left({ {x}^{2}- 2x }\right)+7$

$3$=- 2{\left({ x- 1 }\right)}^{2}+9$

よって，放物線の頂点は

$3$\left({ 1,9 }\right)$

である．

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最終更新日： 2025年4月18日