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1次方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ax+2x+1=b}$ （ $3$a$ ， $3$b$ は定数）　･･････(1)

の解を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$a\neq - 2$ の場合

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} b- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} a+2 \hspace{2}}}$

$3$a=- 2$ かつ $3$b\neq 1$ の場合

解なし

$3$a=- 2$ かつ $3$b=1$ の場合

解は実数全体

■解説

$3$x$ を含む項を左辺に， $3$x$ を含まない定数項を右辺になるように式を整理する．

まず，(1)の両辺から $3$1$ を減じる(等式の性質2)ことにより，(1)の左辺の $3$1$ を右辺に移項する．

$3$\displaystyle{ax+2x+1- 1=b- 1}$

$3$\displaystyle{ax+2x=b- 1}$ ･･････(2)

(1)の右辺の $3$1$ が右辺に移項できたので，(2)の左辺を整理する．

(2)の左辺の整式の共通因数である $3$x$ をくくりだし，残りを()の中に入れる，

$3$\displaystyle{x\left({ a+2 }\right)=b- 1}$ ･･････(3)

(I) $3$a+2\neq 0$ ，すなわち， $3$a\neq - 2$ の場合

(3)の両辺を $3$a+2$ で割る(等式の性質4)．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x\left({ a+2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} a+2 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} b- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} a+2 \hspace{2}}}$ ･･････(4)

(4)の両辺を約分する．

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} b- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} a+2 \hspace{2}}}$

(II) $3$a+2=0$ ，すなわち， $3$a=- 2$ の場合

(3)は

$3$x\cdot 0=b- 1$ ･･････(5)

となる．

(II-1) $3$\displaystyle{b- 1\neq 0}$ ，すなわち，の場合 $3$b\neq 1$

(5)の左辺は常に $3$0$ ，右辺は常に $3$0$ ではない．よって，(5)が成り立つ $3$x$ は存在しない．すなわち，解なしとなる．

(II-2) $3$\displaystyle{b- 1=0}$ ，すなわち，の場合 $3$b=1$

(5)の左辺は $3$x$ がどのような値であっても常に $3$0$ ，右辺も $3$0$ である．よって，(5)は $3$x$ が任意の実数で成り立つ．よって，解は実数全体となる．

以上をまとめると

$3$a\neq - 2$ の場合

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} b- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} a+2 \hspace{2}}}$

$3$a=- 2$ かつ $3$b\neq 1$ の場合

解なし

$3$a=- 2$ かつ $3$b=1$ の場合

解は実数全体

となる．

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最終更新日： 2025年4月18日