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絶対値の記号を含む不等式の問題

■問題

次の不等式の解を求めよ．

$3$\left|{ 2x+5 }\right|< x+7$ ･･････(1)

■答

$3$- 4< x< 2$

■ヒント

$3$\displaystyle{2x+5\geq 0}$ の場合と $3$\displaystyle{2x+5< 0}$ に分けて考える．

■答

絶対値の性質1を用いて場合分けをする．

● $3$\displaystyle{2x+5\geq 0}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{x\geq - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の場合

$3$\displaystyle{\left|{ 2x+5 }\right|=2x+5}$

より，(1)は

$3$\displaystyle{2x+5< x+7}$ ･･････(2)

となる．(2)を解くと

$3$\displaystyle{x< 2}$ ･･････(3)

となる．(2)の詳しい解き方は，この問題を参考にする．

(3)と $3$\displaystyle{x\geq - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の両方を満たす範囲は

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq x< 2}$ ･･････(4)

となる．

● $3$\displaystyle{2x+5< 0}$ ，すなわち， $3$\displaystyle{x< - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の場合

$3$\displaystyle{\left|{ 2x+5 }\right|=- \left({ 2x+5 }\right)}$

より，(1)は

$3$\displaystyle{- \left({ 2x+5 }\right)< x+7}$ ･･････(5)

となる．(4)を解く．

$3$\displaystyle{- 2x- 5< x+7}$

$3$\displaystyle{- 3x< 12}$

$3$x> 4$ ･･････(6)

となる．(6)と $3$\displaystyle{x< - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の両方を満たす範囲は

$3$\displaystyle{- 4< x< - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(7)

となる．

以上より

(1)の解は(4)と(7)を合わせた

$3$- 4< x< 2$

となる．

●グラフによる理解

$3$y=\left|{ 2x+5 }\right|$ ･･････(8)

$3$y=x+7$ ･･････(9)

とおく．

以下に，(8)と(9)のグラフを示す．(1)の解は，(8)のグラフの(9)のグラフより下の部分の $3$x$ の範囲である

(8)のグラフのかき方はこのページを，(9)のページのグラフの書き方はこの問題を参考にしてください．

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最終更新日： 2025年4月27日