2次関数のグラフの平行移動に関する問題

■問題

2次関数 $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを $3$x$ 軸方向に $3$ - 3$ ， $3$y$ 軸方向に $3$ - 2$ 平行移動したグラフを表す関数を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{y={ $ x+3 $ }^{2}- 2}$

■解説

関数 $3$\displaystyle{ y=f $x$ }$ のグラフを $3$x$ 軸方向に $3$a$ ， $3$y$ 軸方向に $3$b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{ y- b=f $ x- a $ }$ ･･････(1)

となる．(グラフの平行移動を参照)．
今回は $3$\displaystyle{a=- 3}$ ， $3$\displaystyle{b=- 2}$ に対応する．
よって $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ を

$3$\displaystyle{x\rightarrow x- $ - 3 $ }$ ， $3$\displaystyle{y\rightarrow y- $ - 2 $ }$ ･･････(2)

に書き換えて

$3$\displaystyle{ y- \left({ - 2 }\right)={ \left{{ x- \left({ - 3 }\right) }\right} }^{2} }$

$3$\displaystyle{ y={ \left({ x+3 }\right) }^{2}- 2 }$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 上の点 $3$\text{P}$ を $3$x$ 軸方向に $3$ - 3$ ， $3$y$ 軸方向に $3$ - 2$ 平行移動したものを点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とすると

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=r+\left({ - 3 }\right)& \vspace{6}\\ y=s+\left({ - 2 }\right)& \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\rightarrow$ $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ r- 3,s- 2 }\right)}$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $3$\text{Q}$ を点 $3$\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $3$\text{P}$ の座標を，点 $3$\text{Q}$ の座標の値 $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}r=x+3& \vspace{6}\\ s=y+2& \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\rightarrow$ $3$\displaystyle{\left({ r,s }\right)=\left({ x+3,y+2 }\right)}$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{s={r}^{2}}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $3$r$ と $3$s$ に(5)の関係を代入すると

$3$\displaystyle{y+2={\left({ x+3 }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{y={\left({ x+3 }\right)}^{2}- 2}$ ･･････(7)

が得られる.(7)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(7)が $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ のグラフを $3$x$ 軸方向に $3$ - 3$ ， $3$y$ 軸方向に $3$ - 2$ 平行移動したグラフを表す関数である．

■別解

２次関数の頂点 $3$\displaystyle{\left({ 0,0 }\right)}$ を $3$x$ 軸方向に $3$ - 3$ ， $3$y$ 軸方向に $3$ - 2$ 平行移動すると， $3$\displaystyle{\left({ - 3,- 2 }\right)}$ に移動する．よって，求める関数は

$3$\displaystyle{y={\left({ x+3 }\right)}^{2}- 2}$

となる（ここを参照）．

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最終更新日： 2025年4月18日