極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{1}$

■ヒント

三角関数の極限では $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

関係式を利用するために分母，分子に $3$\displaystyle{\sin x}$ を掛けると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)}$

となり，上記の関係式を含む式になった．

■解き方

$3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{{e}^{ \sin x }- 1\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

分母，分子に $3$\displaystyle{\sin x}$ を掛けて、 $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形すると

$3$\displaystyle{=\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}} }\right)\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)}$ （∵ここを参照）･･････(1)

(1)の右辺の左側の極限の式において， $3$\displaystyle{y=\sin x}$ とおくと， $3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{y\rightarrow 0}$ であるから

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ y\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{y}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1}$ （∵ $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{x}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ ）

(1)の右辺の右側の極限式は，ヒントでの関係式より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 } \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} =1}$

したがって，求める極限値は

与式＝ $3$\displaystyle{1\times 1}$ $3$\displaystyle{=1}$

となる．

●別解

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ のような不定形となるとき，ロピタルの定理を用いると極限が求まる場合が多い．

定理より求める極限値は分子，分母をそれぞれ別々に $3$\displaystyle{x}$ で微分した極限値に等しい．

したがって，以下に示す式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \left({ {e}^{ \sin x }- 1 }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({x}\right) }^{\prime } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ { \left({ {e}^{ \sin x }- 1 }\right) }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{={e}^{ \sin x }\cos x}$ ， $3$\displaystyle{{\left({x}\right)}^{\prime }}$ $3$\displaystyle{=1}$ より

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ \sin x }\cos x \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={e}^{0}\cdot \cos 0}$ $3$\displaystyle{=1\cdot 1=1}$

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最終更新日： 2026年6月10日