極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

三角関数の極限では $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

関係式を利用するために分母，分子に $3$\displaystyle{ 1+\cos x }$ を掛けると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left({ 1- \cos x }\right)\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \sin }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} x\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}}$

となり，上記の関係式を含む式になった．

■解き方

$3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{1- \cos x\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{x\sin x\rightarrow 0}$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

分母，分子に $3$\displaystyle{ 1+\cos x }$ を掛けて $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形すると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \sin }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} x\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)\cdot { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\cos x \hspace{2}} }\right)}$ （∵ここを参照）

右側の極限式において

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\cos x \hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

左側の極限式は上記の関係式より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

となる．

したがって求める極限値は

与式＝ $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)\cdot { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\cos x \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=1\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

●別解

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ のような不定形となるとき，ロピタルの定理を用いると極限が求まる場合が多い．

定理より求める極限値は分子，分母をそれぞれ別々に $3$\displaystyle{x}$ で微分した極限値に等しい．

したがって，以下に示す式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \left({ 1- \cos x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x\sin x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\left({ 1- \cos x }\right)}^{\prime }=\sin x}$ ， $3$\displaystyle{{\left({ x\sin x }\right)}^{\prime }=\sin x+x\cos x}$ より

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x+x\cos x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{\sin x\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{\sin x+x\cos x\rightarrow 0}$ より， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

再度，ロピタルの定理を用いる．

$3$\displaystyle{{\left({ \sin x }\right)}^{\prime }=\cos x}$ ， $3$\displaystyle{{\left({ \sin x+x\cos x }\right)}^{\prime }=2\cos x- \sin x}$ より

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \left({ \sin x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sin x+x\cos x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\cos x- \sin x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2- 0 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

したがって，求める極限値は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} x\sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2026年6月10日