極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[3]{ 8+x }- 2 \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{12}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ x\rightarrow 0 }$ のとき，分子 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ ，分母 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

$3$\displaystyle{ x\rightarrow 0 }$ のとき，分子 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ ，分母 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ となり，分母，分子の式には因数 $3$\displaystyle{x}$ が含まれる（因数定理を参照）．

分子には $3$\displaystyle{x}$ が現れているが，分母には $3$\displaystyle{x}$ が現れていない．

$3$\displaystyle{{x}^{3}- {y}^{3}= $ x- y $ $ {x}^{2}+xy+{y}^{2} $ }$ を参考にして， $3$\displaystyle{\sqrt[3]{ 8+x }- 2}$ を以下のように式変形すると

$3$\displaystyle{ \sqrt[3]{ 8+x }- 2 }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \left({ \sqrt[3]{ 8+x }- 2 }\right)\left({ { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 \hspace{2}}}$

と式変形でき，因数 $3$\displaystyle{x}$ が含まれる式となる．

■解き方

$3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき，分子 $3$\displaystyle{\rightarrow 0}$ ，分母 $3$\displaystyle{\rightarrow 0}$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

そこで共通因数 $3$\displaystyle{x}$ を出現させるために分母を有理化する．

$3$\displaystyle{3}$ 次式の因数分解の公式 $3$\displaystyle{{x}^{3}- {y}^{3}= $ x- y $ $ {x}^{2}+xy+{y}^{2} $ }$ を参考にして，分子と分母に $3$\displaystyle{ { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 }$ を掛けると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[3]{ 8+x }- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} x\left({ { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt[3]{ 8+x }- 2 }\right)\left({ { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} x\left({ { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ { \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+x }+4 }\right)}$

$3$\displaystyle{= { \left({ \sqrt[3]{ 8+0 } }\right) }^{2}+2\sqrt[3]{ 8+0 }+4 }$

$3$\displaystyle{=12}$

となる．

●別解

よって，ロピタルの定理を利用する．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[3]{ 8+x }- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \left({x}\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt[3]{ 8+x }- 2 }\right) }^{\prime } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3{ \left({ \sqrt[3]{ 8+x } }\right) }^{2} \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3\cdot {2}^{2} \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=12}$

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最終更新日： 2026年6月11日