加法定理の問題12

■問題

$3$\displaystyle{ x> {0}^{^\circ },y> {0}^{^\circ },z> {0}^{^\circ } }$ ，かつ， $3$\displaystyle{ x+y+z={ 180 }^{^\circ } }$ で

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin x\sin y=\cos z& \vspace{6}\\ \sin x+\sin y=\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}}\sin z+1& \vspace{6}\\ \end{array} }$

を満たしているとき， $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ ， $3$\displaystyle{z}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ $ x,y,z $ = $ { 90 }^{^\circ },{ 30 }^{^\circ },{ 60 }^{^\circ } $ , $ { 30 }^{^\circ },{ 90 }^{^\circ },{ 60 }^{^\circ } $ }$

■解説

$3$\displaystyle{ \sin x\sin y=\cos z }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ \sin x+\sin y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\sin z+1 }$ ･･････(2)

とする．

$3$\displaystyle{ x> {0}^{^\circ },y> {0}^{^\circ },z> {0}^{^\circ } }$ で

$3$\displaystyle{ x+y+z={ 180 }^{^\circ } }$ ･･････(3)

から， $3$\displaystyle{x}$ , $3$\displaystyle{y}$ , $3$\displaystyle{z}$ の範囲は， $3$\displaystyle{ {0}^{^\circ }< x< { 180 }^{^\circ } }$ ， $3$\displaystyle{ {0}^{^\circ }< y< { 180 }^{^\circ } }$ ， $3$\displaystyle{ {0}^{^\circ }< z< { 180 }^{^\circ } }$ となり，(3)から

$3$\displaystyle{ z={ 180 }^{^\circ }- $ x+y $ }$ ･･････(4)

(4)より

$3$\displaystyle{ \cos z }$ $3$\displaystyle{ =\cos $ { 180 }^{^\circ }- x- y $ }$

$3$\displaystyle{ =- \cos $ x+y $ }$ 　∵三角関数計算の基礎

$3$\displaystyle{ =- $ \cos x\cos y- \sin x\sin y $ }$ 　∵加法定理

$3$\displaystyle{ =- \cos x\cos y+\sin x\sin y }$ ･･････(5)

(1)に（5を代入する．

$3$\displaystyle{\sin x\sin y=- \cos x\cos y+\sin x\sin y}$

$3$\displaystyle{ - \cos x\cos y=0 }$

$3$\displaystyle{ \cos x\cos y=0 }$ ･･････(6)

(2)に(4)を代入する．

$3$\displaystyle{\sin x+\sin y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\sin \left({ 180^\circ - x- y }\right)+1}$

$3$\displaystyle{ \sin x+\sin y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\sin $ x+y $ +1 }$ 　∵三角関数計算の基礎　･･････(7)

(6)より

$3$\displaystyle{ \cos x=0 }$ ，または， $3$\displaystyle{ \cos y=0 }$

である．

● $3$\displaystyle{ \cos x=0 }$ のとき

$3$\displaystyle{ {0}^{^\circ }< x< { 180 }^{^\circ } }$ より

$3$\displaystyle{ x={ 90 }^{^\circ } }$ ･･････(8)

(8)を(7)に代入すると

$3$\displaystyle{\sin 90^\circ +\sin y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\sin \left({ { 90 }^{^\circ }+y }\right)+1}$

$3$\displaystyle{ 1+\sin y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\sin $ { 90 }^{^\circ }+y $ +1 }$

$3$\displaystyle{ \sin y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\cos y }$

$3$\displaystyle{ \tan y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {0}^{^\circ }< y< { 180 }^{^\circ } }$ より

$3$\displaystyle{ y={ 30 }^{^\circ } }$

(3)より

$3$\displaystyle{ z={ 60 }^{^\circ } }$

● $3$\displaystyle{ \cos y=0 }$ のとき

$3$\displaystyle{x}$ と $3$\displaystyle{y}$ を入れ替えても問題は同等であるので， $3$\displaystyle{ \cos x=0 }$ のときの $3$\displaystyle{x}$ と $3$\displaystyle{y}$ を入れ替えるとよい．

$3$\displaystyle{ x={ 30 }^{^\circ },y={ 90 }^{^\circ },z={ 60 }^{^\circ } }$

となる．

よって(1)，(2)を満たしている値は