三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

■解説

$3$\displaystyle{ \cos {\theta} }$ の値は単位円上の点の $3$\displaystyle{x}$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を $3$\displaystyle{\text{O}}$ とする． $3$\displaystyle{y}$ 軸と平行な線である $3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を $3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とし，原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ と線で結ぶ．

$3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ から $3$\displaystyle{y}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を $3$\displaystyle{\text{R}}$ ， $3$\displaystyle{\text{S}}$ とし，直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ ， $3$\displaystyle{\text{OQS}}$ の内角を求める．

$3$\displaystyle{\text{OP}=1}$ ， $3$\displaystyle{\text{PR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$3$\displaystyle{\angle \text{POR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．よって

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\theta}}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} }$

同様に $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{2}}$ を算出すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{2}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2} 5 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

■グラフ

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最終更新日： 2025年10月8日

三角関数の方程式に関する問題

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