加法定理の問題

■問題

$3$\displaystyle{ \sin \alpha +\sin {\beta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos \alpha +\cos {\beta}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ のとき， $3$\displaystyle{ \cos $ \alpha - {\beta} $ }$ の値を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \cos $ \alpha - {\beta} $ =- \frac{\hspace{2} 47 \hspace{2}}{\hspace{2} 72 \hspace{2}} }$

■ヒント

加法定理の $3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}- {\beta} $ =\sin {\alpha}\sin {\beta}+\cos {\alpha}\cos {\beta} }$ を利用する．

■解答

条件の式の両辺を平方して加えると

$3$\displaystyle{ { $ \sin {\alpha}+\sin {\beta} $ }^{2}+{ $ \cos {\alpha}+\cos {\beta} $ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ ={ \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right) }^{2} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\alpha}+2\sin {\alpha}\sin {\beta}+{ \sin }^{2}{\beta}+{ \cos }^{2}{\alpha} }$ $3$\displaystyle{ +2\cos {\alpha}\cos {\beta}+{ \cos }^{2}{\beta}=\frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\alpha}+{ \cos }^{2}{\alpha}+{ \sin }^{2}{\beta}+{ \cos }^{2}{\beta} }$ $3$\displaystyle{ +2 $ \sin {\alpha}\sin {\beta}+\cos {\alpha}\cos {\beta} $ =\frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}=1 }$ ， $3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}- {\beta} $ =\sin {\alpha}\sin {\beta}+\cos {\alpha}\cos {\beta} }$ より

$3$\displaystyle{ 1+1+2\cos $ {\alpha}- {\beta} $ =\frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ 2\cos $ {\alpha}- {\beta} $ =\frac{\hspace{2} 25 \hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 72 \hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}- {\beta} $ =- \frac{\hspace{2} 47 \hspace{2}}{\hspace{2} 36 \hspace{2}}\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \cos $ {\alpha}- {\beta} $ =- \frac{\hspace{2} 47 \hspace{2}}{\hspace{2} 72 \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年3月2日