加法定理の問題

■問題

$3$\displaystyle{ { 90 }^{^\circ }< {\alpha}< { 180 }^{^\circ } }$ ， $3$\displaystyle{ \sin {\alpha}=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$ のとき， $3$\displaystyle{ \cos 2{\alpha} }$ ， $3$\displaystyle{ \sin 2{\alpha} }$ ， $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}{\alpha}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ の値を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ \cos 2{\alpha}=- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \sin 2{\alpha}=- \frac{\hspace{2} 24 \hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}{\alpha}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=2 }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$ を用いて $3$\displaystyle{ \cos \alpha }$ を算出する．

$3$\displaystyle{ { 90 }^{^\circ }< \alpha < { 180 }^{^\circ } }$ より， $3$\displaystyle{ \cos \alpha < 0 }$ ， $3$\displaystyle{ { 45 }^{^\circ }< \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< { 90 }^{^\circ } }$ より， $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}> 0 }$ となることに注意する．

２倍角の公式と半角の公式を利用する．

■解説

$3$\displaystyle{ \sin {\alpha}=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$ より

$3$\displaystyle{ \cos {\alpha}=\pm \sqrt{ 1- { $ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{2} }=\pm \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ { 90 }^{^\circ }< {\alpha}< { 180 }^{^\circ } }$ から

$3$\displaystyle{ \cos {\alpha}=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }$

次に，2倍角の公式より

$3$\displaystyle{ \cos 2\alpha }$ $3$\displaystyle{ =1- 2{ \sin }^{2}\alpha }$ $3$\displaystyle{ =1- 2{ $ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ =1- 2\times \frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =1- \frac{\hspace{2} 32 \hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \sin 2\alpha }$ $3$\displaystyle{ =2\sin \alpha \cos \alpha }$ $3$\displaystyle{ =2\times \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\times $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} 24 \hspace{2}}{\hspace{2} 25 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ { 90 }^{^\circ }< \alpha < { 180 }^{^\circ } }$ より， $3$\displaystyle{ { 45 }^{^\circ }< \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< { 90 }^{^\circ } }$ であるから， $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}> 0 }$ である．半角の公式を用いて

$3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \sqrt{ \frac{\hspace{2} { \sin }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}\left({ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} 1- \cos \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} 1+\cos \alpha \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2} 1- \cos \alpha \hspace{2}}{\hspace{2} 1+\cos \alpha \hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2} 1- $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ \hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ =2 }$

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最終更新日： 2025年4月11日