三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

$3$\displaystyle{2\cos \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\theta}=\sqrt{2}}$ $3$\displaystyle{ \[ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq {\theta}< {\pi} \] }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 4 \hspace{2}}{\pi}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\theta}}$ を $3$\displaystyle{\alpha }$ と置き換えて計算を行う．

$3$\cos {\theta}=c$ の解き方

■解説

$1$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\theta}={\alpha}}$ ･･････(1)

とおくと，与式は

$3$\displaystyle{2\cos \alpha =\sqrt{2}}$

$3$\displaystyle{\cos \alpha =\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\cos \alpha =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と $3$\displaystyle{{\theta}}$ の範囲から， $3$\displaystyle{\alpha }$ の範囲を求める．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}≦{\theta}< {\pi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}≦\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

よって， $3$\displaystyle{{\alpha}}$ の範囲は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}≦\alpha < \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(3)

となる．

(2)を満たす $3$\displaystyle{\alpha }$ を求める(図の $3$\displaystyle{\hspace{1}{\alpha }_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\alpha }_{2}}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\alpha}}_{1}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}},\hspace{1}{{\alpha}}_{2}=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

(3)より $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\alpha}}_{2}}$ は範囲外であり， $3$\displaystyle{{\theta}=3{\alpha}}$ なので，求める角 $3$\displaystyle{{\theta}}$ は

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

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最終更新日： 2025年2月12日