三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\sqrt{2}{\cos }^{2}{\theta}- $\sqrt{2}+1$\cos {\theta}+1=0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},0}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=t}$ とおくと式は次のような2次方程式になる．

$3$\displaystyle{\sqrt{2}{t}^{2}- $\sqrt{2}+1$t+1=0}$ 　･･････(1)

これを因数分解すると次のようになる．

$3$\displaystyle{$\sqrt{2}t- 1$\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}$t- 1$=0}$ 　･･････(2)

(2)の方程式より

$3$\displaystyle{\sqrt{2}t=1}$ ， $3$\displaystyle{t=1}$

が得られる． $3$\displaystyle{t}$ を元に戻すと

$3$\displaystyle{\sqrt{2}\cos {\theta}=1}$ ， $3$\displaystyle{\cos {\theta}=1}$

となる.この2つの方程式を解く

$3$\displaystyle{\sqrt{2}\cos {\theta}=1}$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ 　⇒ 解

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=1}$ 　⇒ 解

よって

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=1}$ のとき

$3$\displaystyle{0}$

最終更新日： 2025年4月18日