三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{- 2{\cos }^{2}{\theta}+\sin {\theta}+1=0}$

■答

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

■ヒント

公式 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}+{\cos }^{2}=1}$ を用いて式をsin に統一して計算を行う．

■解説

公式 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}+{\cos }^{2}=1}$ を用いて次のように式を変形する．

$3$\displaystyle{ - 2 $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ +\sin {\theta}+1=0 }$

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=t}$ とおき，整理すると次のような2次方程式になる．

$3$\displaystyle{- 2 $ 1- {t}^{2} $ +t+1=0}$

$3$\displaystyle{- 2+2{t}^{2}+t+1=0}$

$3$\displaystyle{2{t}^{2}+t- 1=0}$ ･･････(1)

(1)を因数分解して解くと次のようになる．

$3$\displaystyle{$2t- 1$$t+1$=0}$

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{t=- 1}$

$3$\displaystyle{t}$ を元に戻すと

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\sin {\theta}=- 1}$

となり，これらの2つの方程式を解く

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ⇒ 解

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=- 1}$ ⇒ 解

よって

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=- 1}$ のとき

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$

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最終更新日： 2025年3月1日

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

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