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三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{2\sin {\theta}\tan {\theta}=- 3}$

■解説動画

◆三角関数の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}，\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

■ヒント

三角関数の関係式を用いて与式をcos に統一して計算を行う．

■解説

公式 $3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2} \sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}}$ を用いて式を次のように変形する．

$3$\displaystyle{2 \( \sin {\theta}\frac{\hspace{2} \sin {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}} \) =- 3}$

$3$\displaystyle{2\frac{\hspace{2} { \sin }^{2}{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}=- 3}$

$3$\displaystyle{2{\sin }^{2}{\theta}=- 3\cos {\theta}}$

公式 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\theta}+{\cos }^{2}{\theta}=1}$ を用いて式を $3$\displaystyle{\cos }$ に統一する．

$3$\displaystyle{2\(1- {\cos }^{2}{\theta}\)=- 3\cos {\theta}}$

$3$\displaystyle{\(2- 2{\cos }^{2}{\theta}\)=- 3\cos {\theta}}$

$3$\displaystyle{- 2{\cos }^{2}{\theta}+3\cos {\theta}+2=0}$

$3$\displaystyle{2{\cos }^{2}{\theta}- 3\cos {\theta}- 2=0}$

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=t}$ とおくと式は次のような2次関数になる．

$3$\displaystyle{2{t}^{2}- 3t- 2=0}$ ･･････(1)

ただし， $3$\displaystyle{- 1\leq \cos {\theta}\leq 1}$ より， $3$\displaystyle{- 1\leq t\leq 1}$

これを因数分解して解くと次のようになる．

$3$\displaystyle{\(2t+1\)\(t- 2\)=0}$

$3$\displaystyle{- 1\leq t\leq 1}$ より

$3$\displaystyle{t- 2< 0}$

よって

$3$\displaystyle{2t+1=0}$ ， $3$\displaystyle{t=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{t}$ を元に戻すと

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．この方程式を解く．

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ⇒ 解

よって

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}，\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

　

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最終更新日： 2025年4月18日