不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int 2x{e}^{ 2x }dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{x{e}^{ 2x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法より

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ }dx}$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \displaystyle{ \int {f}^{\prime } $x$ }g $x$ dx}$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\int 2x{e}^{ 2x }dx=\int 2x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ }^{\prime } dx }$ と見て部分積分法を用いる．

与式 $3$\displaystyle{=\int 2x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ }^{\prime } dx}$

$3$\displaystyle{=2x\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ - \int { $ 2x $ }^{\prime }\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ dx }$

（方針の公式にあてはめる）

$3$\displaystyle{ =x{e}^{ 2x }- \int 2\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x } $ dx }$

（ $3$\displaystyle{{ $ 2x $ }^{\prime }}$ が $3$\displaystyle{2}$ になるのは，微分 $3$\displaystyle{ {x}^{{\alpha}} }$ を参照）

$3$\displaystyle{=x{e}^{ 2x }- \int {e}^{ 2x }dx }$

$3$\displaystyle{=x{e}^{ 2x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }+C}$

（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ x{e}^{ 2x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2x }+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ 2x{e}^{ 2x } }$ に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年8月18日