不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 2x+1 \hspace{2}} dx }$ 　

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| 2x+1 \| +C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げる．

■解説

与式 $3$\displaystyle{ =\int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 2x+1 \hspace{2}} $ dx }$ 　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\bullet \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| 2x+1 \| +C }$ 　

この積分に関しては，ここを参考にする．

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| 2x+1 \| +C }$ 　

■別解

$3$\displaystyle{ 2x+1=t }$ とおく(置換積分)　

$3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2} t- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ 　

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ 　

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} t- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} \bullet \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ 　

$3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} $ dt }$ 　

$3$\displaystyle{ = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ t- \log \|t\| $ +C }$ 　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 2x+1- \log \| 2x+1 \| $ +C }$ 　

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| 2x+1 \| +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ 　

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+C }$ を改めて $3$\displaystyle{C}$ とおく

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\log \| 2x+1 \| +C }$ 　

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最終更新日： 2023年11月24日