不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {5}^{x} }dx }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {5}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {e}^{x} }dx={e}^{x}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

指数関数の底を $3$\displaystyle{e}$ に変換する．指数関数の底の変換の仕方より

$3$\displaystyle{ x={a}^{ \hspace{1}{ \log }_{a}x } }$ 　･･････(2)

(2)の $3$x$ を $3$\displaystyle{ {5}^{x} }$ ， $3$a$ を $3$e$ に入れ換えた

$3$\displaystyle{ {5}^{x}={e}^{ x\log 5 } }$ 　･･････(3)

(3)を与式に代入する．

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {e}^{ x\log 5 } }dx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}{e}^{ x\log 5 }+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {5}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 5 \hspace{2}}+C }$

( $3$\displaystyle{ {e}^{ x\log 5 }={5}^{x} }$ の関係を使って，指数関数の底を $3$5$ に戻した)

最終更新日： 2023年11月24日