不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {e}^{ - 2x }dx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - 2x }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

指数/対数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {e}^{x}dx={e}^{x}+C } }$ ･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

置換積分を用いる

$3$\displaystyle{ - 2x=t }$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 2}$ →　 $3$\displaystyle{ dx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {e}^{t} }\times $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt $ }$

( $3$\displaystyle{ - 2x=t }$ ， $3$\displaystyle{ dx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ を代入)

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int {e}^{t}dt } }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times {e}^{t}+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

( 指数/対数の積分を参照)

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - 2x }+C }$

( $3$\displaystyle{ - 2x=t }$ を元に戻す)

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - 2x }+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ {e}^{ - 2x } }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年7月23日