不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int $ 5x- 3 $ } $ 2x+2 $ dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+2{x}^{2}- 6x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

以下に示す公式を適用できるように被積分関数を展開する．

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha } }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+2{x}^{2}- 6x+C }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ 10{x}^{2}+4x- 6 $ dx } }$

ヒントの(1)を適用する

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 }+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}}{x}^{ 1+1 } }$ $3$\displaystyle{ +6x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+2{x}^{2}- 6x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+2{x}^{2}- 6x+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ $ 5x- 3 $ $ 2x+2 $ }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年7月31日