不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { $ x+3 $ }^{2}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ x+3 $ }^{3}+C }$

あるいは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+3{x}^{2}+9x+C}$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）)　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int { $ x+3 $ }^{2}dx } }$

●解法1

置換積分を用いる

$3$\displaystyle{ x+3=t }$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ 　→　 $3$ dx=dt$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int {t}^{2}dt } }$

(与式に， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ ， $3$ dx=dt$ を代入した)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{t}^{ 2+1 }+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ x+3 $ }^{3}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

（ $3$\displaystyle{ x+3=t }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ に戻した）

●解法2

被積分関数を展開してから積分の計算をする

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ {x}^{2}+6x+9 $ dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 }+\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}}{x}^{ 1+1 }+9x+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+3{x}^{2}+9x+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(3)

●備考

(2)を展開すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\left({ x+3 }\right)}^{3}+C}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {x}^{3}+3{x}^{2}\cdot 3+3x\cdot {3}^{2}+{3}^{3} }\right)+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+3{x}^{2}+9x+9+C}$

となり， $3$\displaystyle{9+C}$ を改めて $3$\displaystyle{C}$ とおくと，(3)となり，見た目は異なるが，どちらも与式の計算結果となる．

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ $ x+3 $ }^{3}+C }$ ， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+3{x}^{2}+9x+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ { $ x+3 $ }^{2} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年3月6日