不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{x} \hspace{2}}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\sqrt{x}+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{x} \hspace{2}}dx } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int x\cdot {x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx } }$

(被積分関数をを塁乗の形に書き換えた)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 }+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

(ヒントの公式(1)を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\sqrt{x}+C }$

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x\sqrt{x}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{x} \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日