不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int 3x{ $ x+4 $ }^{3}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ x+4 $ }^{5}- 3{ $ x+4 $ }^{4}+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int 3x{ $ x+4 $ }^{3}dx } }$

$3$\displaystyle{ x+4=t }$ と置き，置換積分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1 }$ 　→　 $3$\displaystyle{ dx=dt }$

$3$\displaystyle{x=t- 4}$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int 3 $ t- 4 $ {t}^{3}dt } }$

( $3$\displaystyle{ x+4=t }$ , $3$\displaystyle{ x=t- 4 }$ ， $3$\displaystyle{ dx=dt }$ を代入した)

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ 3{t}^{4}- 12{t}^{3} $ dt } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 4+1 \hspace{2}}{t}^{ 4+1 }- \frac{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{t}^{ 3+1 }+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{t}^{5}- 3{t}^{4}+C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ x+4 $ }^{5}- 3{ $ x+4 $ }^{4}+C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ x+4 $ }^{5}- 3{ $ x+4 $ }^{4}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ 3x{ $ x+4 $ }^{3} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日