不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} x- a \hspace{2}}dx } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x- a $ $ x+3a $ +3{a}^{2}\log \| x- a \| +C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）　　･･････(1)

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {x}^{\alpha }dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{x}^{ \alpha +1 }+C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx=\log \|x\| +C } }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} x- a \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{ x- a=t }$ と置き，置換積分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ 　→　 $3$\displaystyle{ dx=dt }$

$3$\displaystyle{x=t+a}$

よって

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3{ $ t+a $ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt } }$

( $3$\displaystyle{ x- a=t }$ , $3$\displaystyle{ x=t+a }$ ， $3$\displaystyle{ dx=dt }$ を代入した)

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3{t}^{2}+6at+3{a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int $ 3t+6a+\frac{\hspace{2} 3{a}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} $ }dt }$

(分子を分母の $3$\displaystyle{t}$ で割る)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 1+1 \hspace{2}}{t}^{2}+6at+3{a}^{2}\log \|t\| +C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

（(1)を参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2}+6at+3{a}^{2}\log \|t\| +C }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ x- a $ }^{2}+6a $ x- a $ +3{a}^{2}\log \| x- a \| +C }$

( $3$\displaystyle{ t=x- a }$ を元に戻す)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x- a $ $ x+3a $ +3{a}^{2}\log \| x- a \| +C }$ 　（ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ x- a $ $ x+3a $ +3{a}^{2}\log \| x- a \| +C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 3{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} x- a \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日