部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{\int {e}^{ x }\sin x dx}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x } $ \sin x- \cos x $ +C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

$3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={ $ {e}^{ x } $ }^{\prime }={e}^{ x }}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ ={e}^{ x }}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ =\sin x}$ 　

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int {e}^{ x }\sin x dx}$

$3$\displaystyle{=\int { $ {e}^{ x } $ }^{\prime }\sin x dx}$ (この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応している）

$3$\displaystyle{={e}^{ x }\sin x- \int {e}^{ x }{ $ \sin x $ }^{\prime } dx}$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応している）

$3$\displaystyle{={e}^{ x }\sin x- \int { $ {e}^{ x } $ }^{\prime }\cos x dx}$

（次は $3$\displaystyle{\int { $ {e}^{ x } $ }^{\prime }\cos x dx}$ の部分積分を行う）

$3$\displaystyle{ ={e}^{ x }\sin x }$ $3$\displaystyle{ - \left{{ {e}^{ x }\cos x- \int {e}^{ x }{ \left({ \cos x }\right) }^{\prime }dx }\right} }$

$3$\displaystyle{={e}^{ x }\sin x- {e}^{ x }\cos x}$ $3$\displaystyle{- \int {e}^{ x }\sin x dx}$ ･･････(1) 　

ここで，右辺の式の中に，左辺の積分の式と同じものが現れたため，左辺の積分の式を $3$\displaystyle{I}$ とおき $3$\displaystyle{I}$ に関する方程式とし， $3$\displaystyle{I}$ を求める．

$3$\displaystyle{I=\int {e}^{ x }\sin x dx}$ とおくと(1)は

$3$\displaystyle{I={e}^{ x }\sin x- {e}^{ x }\cos x- I}$ ･･････(2) 　

となる．(2)を $3$I$ について解く.

$3$\displaystyle{2I={e}^{ x }\sin x- {e}^{ x }\cos x}$

（右辺の $3$\displaystyle{I}$ を左辺に移項した）

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x }\sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x }\cos x}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x } $ \sin x- \cos x $ }$

積分定数を加えて

$3$\displaystyle{\int {e}^{ x }\sin x dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x } $ \sin x- \cos x $ }$ $3$\displaystyle{+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

●別解

$3$\displaystyle{\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={ $ - \cos x $ }^{\prime }=\sin x}}$ より

$3$\displaystyle{ f$x$=- \cos x }$ ， $3$\displaystyle{ g$x$={e}^{ x } }$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{ \int {e}^{ x }\sin xdx }$

$3$\displaystyle{ = \int {e}^{ x }{ $- \cos x$ }^{\prime }dx }$ (この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応している）

$3$\displaystyle{={e}^{ x }\left({ - \cos x }\right)- \displaystyle{ \int { \left({ {e}^{ x } }\right) }^{\prime }\left({ - \cos x }\right)dx }}$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応している）

$3$\displaystyle{=- {e}^{ x }\cos x+\displaystyle{ \int {e}^{ x }{ \left({ \sin x }\right) }^{\prime }dx }}$

（次は $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ x }{ \left({ \sin x }\right) }^{\prime }dx }}$ の部分積分を行う）

$3$\displaystyle{=- {e}^{ x }\cos x}$ $3$\displaystyle{+\left{{ {e}^{ x }\sin x- \displaystyle{ \int { \left({ {e}^{ x } }\right) }^{\prime }\sin xdx } }\right}}$

$3$\displaystyle{=- {e}^{ x }\cos x+{e}^{ x }\sin x}$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{ \int {e}^{ x }\sin xdx }}$ ･･････(3) 　

$3$\displaystyle{I=\int {e}^{ x }\sin x dx}$ とおくと(3)は

$3$\displaystyle{I=- {e}^{ x }\cos x+{e}^{ x }\sin x- I}$ ･･････(4) 　

となる．(4)を $3$I$ について解く.

$3$\displaystyle{2I=- {e}^{ x }\cos x+{e}^{ x }\sin x}$

（右辺の $3$\displaystyle{I}$ を左辺に移項した）

$3$\displaystyle{2I=- {e}^{ x }\cos x+{e}^{ x }\sin x}$

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x }\left({ \sin x- \cos x }\right)}$

積分定数を加えて

$3$\displaystyle{\int {e}^{ x }\sin x dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x } $ \sin x- \cos x $ }$ $3$\displaystyle{+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ x } $ \sin x- \cos x $ +C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ {e}^{ x }\sin x }$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日