部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{\int \log $ x+1 $ dx }$

$3$\displaystyle{ $ x+1 $ \log $ x+1 $ - x+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

を用いる．

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }=1}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ =x}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ =\log $ x+1 $ }$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int \log $ x+1 $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int {x}^{\prime }\log $ x+1 $ dx }$ （この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x\log $ x+1 $ - \int x{ \{ \log $ x+1 $ \} }^{\prime }dx }$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応する）　

$3$\displaystyle{=x\log $ x+1 $ - \int x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{=x\log $ x+1 $ - \int $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ dx }$

（∵ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}=1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}}$ ）

$3$\displaystyle{=x\log $ x+1 $ - \{ \int dx - \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx \} }$

$3$\displaystyle{=x\log $ x+1 $ - \{ x- \log $ x+1 $ \} }$

$3$\displaystyle{=x\log $ x+1 $ - x+\log $ x+1 $ +C}$

（ $3$\displaystyle{x\log $ x+1 $ }$ と　 $3$\displaystyle{\log $ x+1 $ }$ をまとめる）

$3$\displaystyle{= $ x+1 $ \log $ x+1 $ - x+C}$

$3$\displaystyle{f $x$ =x}$ の代わりに　 $3$\displaystyle{f $x$ =x+1}$ としてもよい．

$3$\displaystyle{{ $ x+1 $ }^{\prime }=1}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ =x+1}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ =\log $ x+1 $ }$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int \log $ x+1 $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int { $ x+1 $ }^{\prime }\log $ x+1 $ dx }$ （この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{= $ x+1 $ \log $ x+1 $ }$ $3$\displaystyle{- \int $ x+1 $ { \{ \log $ x+1 $ \} }^{\prime }dx }$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{= $ x+1 $ \log $ x+1 $ }$ $3$\displaystyle{- \int $ x+1 $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{= $ x+1 $ \log $ x+1 $ - \int dx }$

$3$\displaystyle{= $ x+1 $ \log $ x+1 $ - x+C}$

よってこの問題では， $3$\displaystyle{f $x$ =x}$ として部分積分を行っても，あるいは， $3$\displaystyle{f $x$ =x+1}$ として部分積分を行っても，いずれも計算することができる．

求まった答え $3$\displaystyle{ $ x+1 $ \log $ x+1 $ - x+C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{\log $ x+1 $ }$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2025年8月21日