部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{\int { $ \log 2x $ }^{3}dx }$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{x{ $ \log 2x $ }^{3}- 3x{ $ \log 2x $ }^{2}+6x $ \log 2x $ }$ $3$\displaystyle{- 6x+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

$3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }=1}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ =x}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ ={ $ \log 2x $ }^{3}}$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int { $ \log 2x $ }^{3}dx }$

$3$\displaystyle{=\int {x}^{\prime }{ $ \log 2x $ }^{3} dx}$ （この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{3}- \int x{ \{ { $ \log 2x $ }^{3} \} }^{\prime }dx }$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ =f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{3}}$ $3$\displaystyle{- \int x\cdot 3\cdot { $ \log 2x $ }^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}\cdot 2dx }$

$3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{3}- 3\int { $ \log 2x $ }^{2}dx }$

ここで， $3$\displaystyle{\int { $ \log 2x $ }^{2}dx }$ の計算を行う．先程と同じように

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }=1}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ =x}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ ={ $ \log 2x $ }^{2}}$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int { $ \log 2x $ }^{2}dx }$

$3$\displaystyle{=\int {x}^{\prime }{ $ \log 2x $ }^{2} dx}$ （この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{2}- \int x{ \{ { $ \log 2x $ }^{2} \} }^{\prime }dx }$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{- \int x\cdot 2\cdot $ \log 2x $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}\cdot 2dx }$

となる．

さらに，ここで， $3$\displaystyle{\int $ \log 2x $ dx }$ の計算を行う．また先程と同じように

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }=1}$ より

$3$\displaystyle{f $x$ =x}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ = $ \log 2x $ }$

として部分積分を行う．

$3$\displaystyle{\int $ \log 2x $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int {x}^{\prime } $ \log 2x $ dx}$ （この式は公式の左辺の $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x $ \log 2x $ - \int x{ \{ $ \log 2x $ \} }^{\prime }dx }$

（この式は公式の右辺の $3$\displaystyle{ f $x$ g $x$ - \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx }$ に対応する）

$3$\displaystyle{=x $ \log 2x $ - \int x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}\cdot 2dx }$

$3$\displaystyle{=x $ \log 2x $ - \int dx }$

$3$\displaystyle{=x $ \log 2x $ - x+C}$

となる．

最後に，これまでに求めたものを順に代入する．

$3$\displaystyle{\int { $ \log 2x $ }^{3}dx }$ $3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{3}- 3 \[ x{ $ \log 2x $ }^{2}- 2 \{ x $ \log 2x $ - x \} \] +C}$

$3$\displaystyle{=x{ $ \log 2x $ }^{3}- 3x{ $ \log 2x $ }^{2}+6x $ \log 2x $ - 6x+C}$

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{x{ $ \log 2x $ }^{3}- 3x{ $ \log 2x $ }^{2}+6x $ \log 2x $ }$ $3$\displaystyle{- 6x+C}$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{{ $ \log 2x $ }^{3}}$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題 >> $3$\displaystyle{\int { $ \log 2x $ }^{3}dx }$

最終更新日： 2025年8月21日