部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$3$\displaystyle{ \int x{e}^{x} dx }$

$3$\displaystyle{ {e}^{x}\left({ x- 1 }\right)+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f $x$ {g}^{\prime } $x$ }dx}$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \displaystyle{ \int {f}^{\prime } $x$ }g $x$ dx}$

を用いる.

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)={e}^{x} }$ , $3$\displaystyle{ g\left({x}\right)=x }$

と対応させる.

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)= \int {e}^{x}dx={e}^{x} }$ （積分定数は省略している）

$3$\displaystyle{ {g}^{\prime }\left({x}\right)={\left({x}\right)}^{\prime }=1 }$

よって

$3$\displaystyle{ \int x{e}^{x} dx= \int {e}^{x} \cdot xdx }$

$3$\displaystyle{ = \int {\left({{e}^{x}}\right)}^{\prime } \cdot xdx }$

$3$\displaystyle{={e}^{x}\cdot x- \displaystyle{ \int {e}^{x}\cdot { \left({x}\right) }^{\prime }dx }}$

$3$\displaystyle{={e}^{x}\cdot x- \displaystyle{ \int {e}^{x}dx }}$

$3$\displaystyle{={e}^{x}\cdot x- {e}^{x}+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{={e}^{x}\left({ x- 1 }\right)+C}$

最終更新日： 2025年8月21日