指数の大小関係の問題（2）

■問題

次の数を小さい方から順に並べよ．

$3$\displaystyle{ \sqrt{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[5]{5} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\sqrt[5]{5},\sqrt{2},\sqrt[3]{3}}$

■解説

まず，与えられた数字を指数表示する．

$3$\displaystyle{\sqrt{2}}$ $3$\displaystyle{={2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\sqrt[3]{3}}$ $3$\displaystyle{={3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\sqrt[5]{5}}$ $3$\displaystyle{={5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$

この中から順に2つの数字の大小関係を調べていく．

a) $3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

両方の数を何乗かすることによって整数になるようにする．

いま，両方の数の指数は $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ であるので，2つの数を6乗する．式変形はここを参照．

$3$\displaystyle{{ $ {2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ }^{6}}$ $3$\displaystyle{={2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times 6 }}$ $3$\displaystyle{={2}^{3}}$ $3$\displaystyle{=8}$

$3$\displaystyle{{ $ {3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }^{6}}$ $3$\displaystyle{={3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\times 6 }}$ $3$\displaystyle{={2}^{2}}$ $3$=9$

即ち， $3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ を6乗根であらわすと

$3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{8}}$

$3$\displaystyle{{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[6]{9}}$

$3$\displaystyle{\sqrt[6]{8}< \sqrt[6]{9}}$ より

$3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }< {3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

b) $3$\displaystyle{{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} },{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

a)と同様に考え，両方の数を15乗すると

$3$\displaystyle{{ $ {3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }^{ 15 }}$ $3$\displaystyle{={3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\times 15 }}$ $3$\displaystyle{={3}^{5}}$ $3$\displaystyle{=243}$

$3$\displaystyle{{ $ {5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} } $ }^{ 15 }}$ $3$\displaystyle{={5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\times 15 }}$ $3$\displaystyle{={5}^{3}}$ $3$\displaystyle{=125}$

即ち， $3$\displaystyle{{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} },{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ を15乗根であらわすと

$3$\displaystyle{{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[ 15 ]{ 243 }}$

$3$\displaystyle{{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[ 15 ]{ 125 }}$

$3$\displaystyle{\sqrt[ 15 ]{ 125 }< \sqrt[ 15 ]{ 243 }}$ より

$3$\displaystyle{{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }< {3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

c) $3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

a)と同様に考え，両方の数を10乗すると

$3$\displaystyle{{ $ {2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ }^{ 10 }}$ $3$\displaystyle{={2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times 10 }}$ $3$\displaystyle{={2}^{5}}$ $3$\displaystyle{=32}$

$3$\displaystyle{{ $ {5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} } $ }^{ 10 }}$ $3$\displaystyle{={5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\times 10 }}$ $3$\displaystyle{={5}^{2}}$ $3$\displaystyle{=25}$

即ち， $3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ を10乗根であらわすと

$3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[ 10 ]{ 32 }}$

$3$\displaystyle{{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt[ 10 ]{ 25 }}$

$3$\displaystyle{\sqrt[ 10 ]{ 25 }< \sqrt[ 10 ]{ 32 }}$ より

$3$\displaystyle{{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }< {2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

a)，b)，c)より

$3$\displaystyle{ \sqrt{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[5]{5} }$ を小さい順に並べると

$3$\displaystyle{\sqrt[5]{5},\sqrt{2},\sqrt[3]{3}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日

指数の大小関係の問題（2）

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■答

■解説

a) の大小関係を調べる．

b) の大小関係を調べる．

c) の大小関係を調べる．

a) $3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

b) $3$\displaystyle{{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} },{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．

c) $3$\displaystyle{{2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} },{5}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ の大小関係を調べる．