基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

$3$\displaystyle{{3}^{ 2x }> 27}$

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{3}^{ 2x }}$ $3$\displaystyle{> 27}$

$3$\displaystyle{{3}^{ 2x }}$ $3$\displaystyle{> {3}^{3}}$

底が3(>1)より

$3$\displaystyle{2x}$ $3$\displaystyle{> 3}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{> \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

与式を見ると，右辺が $3$3$ の倍数である．

また，左辺は底が $3$3$ の指数を用いた数であるので，両辺を底が $3$3$ の指数を用いた数に統一する．

$3$\displaystyle{{3}^{ 2x }}$ $3$\displaystyle{> 27}$

$3$\displaystyle{{3}^{ 2x }}$ $3$\displaystyle{> 3\times 3\times 3}$

$3$\displaystyle{{3}^{ 2x }}$ $3$\displaystyle{> {3}^{3}}$

与式は底が $3$3$ の指数を用いた数に統一された．

底が３の指数関数は底が $3$1$ より大きいので，グラフは単調増加である．

よって，与式の指数における大小関係は変化しない．

指数の関係式は次のようになる．

$3$\displaystyle{2x> 3}$

ゆえに，求める不等式の解は

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日