基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ \sqrt{3} }8+\hspace{1}{\log }_{2}3\hspace{1}{\log }_{9}4+\hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }16}$

■答

$3$\displaystyle{2\hspace{1}{\log }_{3}2+1}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■解説

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ \sqrt{3} }8+\hspace{1}{\log }_{2}3\hspace{1}{\log }_{9}4+\hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }16}$

底の変換公式を用いて，底を $3$3$ に統一する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}8 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\sqrt{3} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}3 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}2 \hspace{2}}\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}4 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}9 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}16 \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}}$

ここで，対数の性質と指数に関する定義を用いて以下のように式を変形する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}8}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{2}^{3}}$ $3$\displaystyle{=3\hspace{1}{\log }_{3}2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}\sqrt{3}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{3}3}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}3}$ $3$\displaystyle{=1}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}4}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{2}^{2}}$ $3$\displaystyle{=2\hspace{1}{\log }_{3}2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}9}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{3}^{2}}$ $3$\displaystyle{=2\hspace{1}{\log }_{3}3}$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}16}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{2}^{4}}$ $3$\displaystyle{=4\hspace{1}{\log }_{3}2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{3}{3}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{\log }_{3}3}$ $3$\displaystyle{=- 1}$

となる．よって

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}2 \hspace{2}}\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{2}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{2}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}{3}^{ - 1 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3\hspace{1}{ \log }_{3}2 \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}2 \hspace{2}}\frac{\hspace{2} 2\hspace{1}{ \log }_{3}2 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 4\hspace{1}{ \log }_{3}2 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=6\hspace{1}{\log }_{3}2+1- 4\hspace{1}{\log }_{3}2}$

$3$\displaystyle{=2\hspace{1}{\log }_{3}2+1}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日