基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

$3$\displaystyle{ {9}^{t}- 4\cdot {3}^{ t+1 }+27< 0 }$

$3$\displaystyle{1< t< 2}$

$3$\displaystyle{{9}^{t}={ $ {3}^{2} $ }^{t}={ $ {3}^{t} $ }^{2}}$ 指数法則を参照

$3$\displaystyle{{3}^{ t+1 }={3}^{t}\cdot 3=3\cdot {3}^{t}}$

$3$\displaystyle{{3}^{t}=T}$

とおいて， $3$\displaystyle{T}$ の2次式と考えて不等式を解く

与式の左辺を変形すると

$3$\displaystyle{{ $ {3}^{2} $ }^{t}- 4\cdot {3}^{t}\cdot 3+27< 0}$

$3$\displaystyle{{ $ {3}^{t} $ }^{2}- 12\cdot {3}^{t}+27< 0}$

となる．

ここで， $3$\displaystyle{{3}^{t}=T}$ とおく．

ただし， $3$\displaystyle{T> 0}$ ･･････(1)

よって

$3$\displaystyle{ {T}^{2}- 12T+27< 0 }$

$3$\displaystyle{ $ T- 9 $ $ T- 3 $ < 0}$

$3$\displaystyle{3< T< 9}$

これは(1)を満たしている．よって

$3$\displaystyle{3< {3}^{t}< 9}$

$3$\displaystyle{ {3}^{1}< {3}^{t}< {3}^{2} }$

底は $3$3$ $3$\displaystyle{ $ > 1 $ }$ より(このページを参照)

求める $3$\displaystyle{t}$ の範囲は

$3$\displaystyle{1< t< 2}$

となる．

$3$\displaystyle{ f $t$ ={9}^{t}- 4\cdot {3}^{ t+1 }+27 }$

とおくと，下の図のようなグラフになる．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日